Mágneses hidrodinamika

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. július 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A magnetohidrodinamika egy fizikai tudományág, amely a hidrodinamika és a kontinuum elektrodinamika metszéspontjában keletkezett . Tanulmányának tárgya egy vezető folyadék vagy gáz dinamikája mágneses térben . A vizsgált közegek példái a különféle plazmák , folyékony fémek , sós víz.

Hannes Alfven , aki 1970 -ben Nobel-díjat kapott munkásságáért, a magnetohidrodinamika elméletének kutatásában úttörőként ismert . Az első kísérleti munka ezen a területen Hartmann 1937 -ben végzett tanulmánya a higany áramlásával szembeni ellenállásról egy csőben keresztirányú mágneses tér hatására.

Magnetohidrodinamikai egyenletek

A vezető folyadék nem relativisztikus magnetohidrodinamikájának teljes egyenletrendszere a következőképpen alakul:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operátornév {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ részleges {\vec {H))}{\partial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operátornév {rot} \ balra[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Itt:

$p$ a nyomás a közegben;
$\rho$ a közeg sűrűsége;
$\sigma$ — a közeg vezetőképessége;
$\eta$ a közeg nyírási viszkozitása ;
$\zeta$ a közeg térfogati viszkozitása ;
${\vec {v}}$ a sebességmező;
${\vec {H}}$ a mágneses tér erőssége .

Ez a rendszer 8 egyenletet tartalmaz, és lehetővé teszi 8 ismeretlen ( , , , ) meghatározását adott kezdeti és peremfeltételekhez. $p$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Ha a következő közelítéseket használjuk ( nem disszipatív határ):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

akkor az MHD egyenletrendszer egyszerűbb formában is felírható:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operátornév {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ részleges {\vec {H}}}{\partial t}}=\operátornév {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Egyenletek levezetése

Az MHD egyenletek levezetése a Maxwell és hidrodinamikai egyenletekből

Írjuk fel a Maxwell-egyenletrendszert a CGS rendszerbe :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ részleges t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{esetek}}

A következő feltevésekből indulunk ki:

a mágneses permeabilitás egyenlő eggyel: $\mu=1;$
nincs elektromos töltés $\rho =0;$
Az Ohm-törvény alakja a következő: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Korlátozzuk magunkat a nemrelativisztikus esetre ( ), azaz $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|.$

A nemrelativisztikus közelítés indoklása.

Mutassuk meg, hogy ez egyenértékű $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec H}}{\partial t^{2}}}\right |

Értékeljük ezt a kifejezést:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

ahol:

$L$ a jellemző hosszúság;
$\tau$ jellemző időpont.

Ezzel a következő összefüggéshez jutunk:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

Vagyis a rendszer jellemző sebességének sokkal kisebbnek kell lennie, mint a fénysebesség.

A Maxwell -egyenletek ebben a közelítésben a következőképpen lesznek felírva:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ részleges t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Az Ohm-törvényt kifejezve és az első egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Ha a Maxwell-féle második egyenletből származó áramot behelyettesítjük ebbe az egyenletbe, a következőt kapjuk:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].

Az ideális vezetőfolyadék határán a következőket kapjuk: $\sigma \to \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

A hidrodinamikához való kapcsolódáshoz a Navier-Stokes egyenlethez hozzáadunk egy kifejezést, amely a mágneses térből származó áramokra ható Amper -erőért felelős (az áramot a második Maxwell-egyenletből fejezzük ki a mágneses térerősségen keresztül):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Alkalmazások

A magnetohidrodinamika alapelveit a folyékony fémek viselkedésének távfelügyeletére és szabályozására használják az iparban, különösen:

MHD szivattyúkban ;
MHD generátorokban .

Lásd még

Irodalom

V. Denisov «Bevezetés az anyaghordozók elektrodinamikájába: Tankönyv». - M .: Moszkvai Kiadó. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Folyamatos közeg elektrodinamikája. - 4. kiadás, sztereotip. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 p. - ("Elméleti fizika", VIII. kötet). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA Előadások a plazmafizikáról. 2. kötet: Magnetohidrodinamika. - 3. kiadás - Szentpétervár. : Lan , 2021. - 446 p. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Linkek

Mágneses hidrodinamika a "Krugosvet" enciklopédiában.
A Lett Egyetem Fizikai Intézetének "Magnetohidrodinamika" című folyóiratának honlapja (korábbi "Mágneses hidrodinamika" folyóirat) .

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Az elektrodinamika szakaszai
Elektrosztatika és elektrodinamika Magnetosztatika és magnetodinamika Relativisztikus elektrodinamika kvantumelektrodinamika
Folyamatos közegek elektrodinamikája	Magnetohidrodinamika Elektrohidrodinamika