Többléptékű elemzés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A többléptékű elemzés (MSA) egy eszköz a wavelet - bázisok építésére . 1988/89-ben fejlesztették ki. Malla és I. Meyrom. A többléptékű analízis lényege, hogy a jelet ortogonális alapon bontják fel, amelyet a wavelet függvény eltolódásai és többléptékű másolatai alkotnak . A jel hullámokkal való konvolúciója lehetővé teszi a jel jellemző tulajdonságainak kiemelését ezen hullámok lokalizációjának területén.

A többléptékű elemzés (MSA) koncepciója alapvető a wavelet-elméletben. A többléptékű elemzéshez a gyors Fourier-transzformációhoz hasonló gyors kaszkádszámítási algoritmust fejlesztettek ki .

Definíció

A KMA végrehajtásakor a jelek tere beágyazott alterek rendszereként jelenik meg , amelyek a független változó átskálázásával különböznek egymástól. Így a zárt terek halmazát többléptékű elemzésnek (MCA) nevezzük , ha bizonyos feltételek teljesülnek. $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$

(1) Beágyazási feltétel:

V_{j}\subset V_{j+1}

mindenkinek . A jelek teljes tere, mint egész ábrázolható a megfelelő jelbontási szintek egymásba ágyazott zárt altereinek sorozataként ;

j\in \mathbb {Z}

L^{2}(\mathbb {R} )

m

(2) A felosztás teljességének és sűrűségének feltétele:

\bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}

szorosan be

L^{2}(\mathbb {R} );

(3) Az alterek ortogonalitásának feltétele:

\bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};

(4) A konzerválás feltétele az altérben funkcióváltások esetén:

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};

(5) Bármely függvény átméretezése az argumentum kétszeresével áthelyezi a függvényt a szomszédos altérbe:

{\displaystyle f(t)\in V_{j))

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};

(6) Léteznek olyanok, amelyeknek az argumentumhoz viszonyított egész számának eltolódása a tér ortonormális alapját

{\displaystyle r(t)\in V_{0))

V_{0}

képezi :

f_{0,k}(t)=f(tk),k\in \mathbb {Z} .

A függvényt méretezési függvénynek nevezzük .

r(t)

Tulajdonságok

Jelöljük a függvény eltolódásait és dilatációit $f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .$

Bármely függvényhez ortonormális alapot képezzen $j\in \mathbb {Z}$ $\varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z}$ $V_{j}.$

Ha akkor . $f\in V_{j},$ $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z}$

Az (5) feltétel függvényét skálázásnak nevezzük egy adott CMA esetén. $\varphi$

Ortogonális wavelet bázisok felépítése

Hadd alkossanak KMA-t. Jelöljük a térbeli ortogonális komplementerével Ekkor a teret direkt összegre bontjuk. Így a terek szekvenciális felbontásával és a (3) feltétel figyelembevételével A (2) feltételt használva megkapjuk az A-t: $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $W_j$ $V_{j}$ $V_{j+1}.$ $V_{j+1}$ $V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.$ $V_{j}$ $V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.$ $L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j))}.$

Így a teret páronkénti ortogonális alterek közvetlen összegére bontjuk.. Fontos, hogy a függvény generáljon egy másik függvényt , amelynek egész szám eltolódása ortonormális bázist jelent . $L_{2}(\mathbb {R} )$ $W_{j}.$ $\varphi$ $\psi \in W_{0},$ $W_{0}.$ $\psi$

Legyen - CMA skálázó funkcióval - maszkja, a rendszer ortonormális, $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $\varphi ,$ $m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} ))$

\psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.

Ekkor a függvények a tér ortonormális alapját képezik $\psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z}$ $L_{2}(\mathbb {R} ).$

Többdimenziós KMA

Egy dimenziós tér általános esetben egy ortonormális bázis képez függvényeket, amelyek segítségével a tér bármely függvényének MRA-ja végrehajtódik, míg a normalizációs tényező egyenlő . $n-$ $2^{n}-1$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $2^{nm/2}$

Jegyzetek

Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
Novikov I. Ya., Protasov V. Yu., Skopina M. A., Splash Theory , (2005), Fizmatlit, Moszkva, ISBN 5-9221-0642-2