Eddington-Finkelstein koordináták

Az Eddington-Finkelstein koordináták a Schwarzschild-metrika (gömbszimmetrikus fekete lyuk ) koordinátarendszer - párja , amely nullgeodéziához igazodik . A nullgeodéziai a fotonok világvonala ; A radiális geodetikusok azok, amelyek mentén a fotonok közvetlenül a központi tömeg felé vagy onnan távolodnak el. Ez a pár Arthur Stanley Eddington [1] és David Finkelstein [2] nevéhez fűződik . Úgy gondolják, hogy ők javasolták az ötletet, de egyikük sem írta le kifejezetten ezeket a koordinátákat vagy mérőszámokat. Bár Roger Penrose [3] volt az első, aki lejegyezte, Finkelsteinnek a fent idézett cikkben, valamint Eddingtonnak és Finkelsteinnek az Adams-díjról szóló esszéjében a koordináták még abban az évben való felfedezése tulajdonítható. A legbefolyásosabb Charles Misner , Kip Thorne és John Wheeler ezen a néven hivatkozik ezekre a koordinátákra a Gravity [4] című könyvében .

Ezekben a koordinátarendszerekben a sugárirányú fénysugarak, amelyek mindegyike nullgeodézist követ, miközben a középponttól távolodva vagy a középpont felé haladnak, állandó "idő" felületeket határoznak meg, míg a radiális koordináta a tér szokásos koordinátája, így a felületek keresztirányúak. a radiális koordinátához, forgásszimmetriája 4π r 2 területű . Ennek a koordináta-rendszernek az egyik előnye, hogy megmutatja, hogy a Schwarzschild-sugárban lévő látszólagos jellemző csak koordináta szingularitás , nem pedig valódi fizikai szingularitás. Bár ezt a tényt Finkelstein felismerte, Eddington nem ismerte fel (vagy legalábbis nem kommentálta), akinek fő célja az volt, hogy összehasonlítsa és szembeállítsa a Whitehead-féle gravitációelmélet és az Einstein-féle relativitáselmélet gömbszimmetrikus megoldásait .

Schwarzschild metrika

A Schwarzschild-koordinátákat olyan koordinátáknak nevezzüka Schwarzschild-metrika így van írva: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

ahol

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

kétdimenziós gömb standard Riemann-metrikája .

Itt a következő konvenciókat használjuk: metrikus szignatúra (− + + +) és természetes mértékegységek , ahol c = 1 a dimenzió nélküli fénysebesség, G a gravitációs állandó és M a Schwarzschild-geometria jellemző tömege.

Teknős koordináta

Az Eddington-Finkelstein koordináták a teknős-koordinátán [4] alapulnak , amely Zénón egyik paradoxonjából származik, amely a "gyorslábú" Achilles és a teknős közötti képzeletbeli versenyről szól .

A teknősök koordinátáját a következőképpen határozzuk meg [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

ami kielégíti:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

A teknősbéka-koordináta a Schwarzschild-sugárhoz közeledve közelít . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

Amikor bármely szonda (például egy fénysugár vagy egy megfigyelő) megközelíti a fekete lyuk eseményhorizontját, a Schwarzschild-időkoordinátája a végtelenségig növekszik. Ebben a koordinátarendszerben a végtelenbe tartó nulla geodéziai vonalak t -ben végtelenül változnak, amikor túllépnek a horizonton. A teknősbéka-koordináta a megfelelő ütemben végtelenül növekszik, és kiküszöböli az egyedi viselkedést az erre épülő koordinátarendszerekben.

Az eseményhorizonthoz közeledve az időkoordináta végtelenre növelése az oka annak, hogy az ilyen eseményhorizonton keresztül küldött bármely szondától származó információ nem adható vissza. És ez annak ellenére, hogy maga a szonda azonban túlléphet a horizonton. Ez az oka annak is, hogy a fekete lyuk Schwarzschild-koordinátákkal kifejezett tér-idő metrikája szingulárissá válik a horizonton - és így nem használható fel a zuhanó szonda pályájának teljes (a tér teljes régiójára kiterjedő) képére.

Metric

A zsugorodó Eddington-Finkelstein koordinátarendszert úgy kapjuk meg, hogy a t koordinátát egy új koordinátára cseréljük . Ezekben a koordinátákban a Schwarzschild-metrika a következőképpen írható fel: [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

ahol azt feltételezik

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

a standard Riemann-metrika az egységsugarú kétdimenziós gömbön.

Hasonlóképpen a bővülő Eddington-Finkelstein koordinátarendszert úgy kapjuk meg, hogy t-t egy új koordinátára cseréljük . Ekkor a metrikát a [6] kifejezés adja meg $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

Mindkét koordinátarendszerben a metrikának egyértelműen nincs szingularitása a Schwarzschild-sugárban (még ha egy komponens eltűnik is abban a sugárban, a metrika determinánsa továbbra sem tűnik el, és az inverz metrikának sincsenek divergens tagjai ezen a ponton) . A táguló koordinátarendszer a részecskék gravitációs sugáron kívüli középpontból történő kilökődését írja le, de amikor megpróbáljuk a gravitációs sugáron belüli részecskék lehullására használni, a Schwarzschild-hez hasonló szingularitás keletkezik. Összehúzódó koordinátarendszer esetén a gravitációs sugáron belüli bejövő részecskéknek nincs szingularitásuk, de szingularitás akkor lép fel, amikor a gravitációs sugáron kívüli részecskéket próbáljuk leírni. A gravitációs összeomlás leírására zsugorodó koordinátarendszert használnak [7] .

Nulla felületek esetén v=const vagy =const , vagy ezzel egyenértékűen =const vagy u=const , kiderül, hogy a dv/dr és a du/dr a 0-hoz és a ± 2-hez közelít nagy r mellett, nem pedig ± 1-hez, ahogyan az várható lenne, ha u -t vagy v -t "időnek" tekintjük . Eddington-Finkelstein diagramok készítésekor az u vagy v konstans felületeket általában kúpként, az állandó u vagy v vonalakat pedig 45 fokos ferdén, nem síkként [8] . Egyes források helyett a helyettesítést használják , ami az ilyen diagramokon szereplő síkoknak felel meg. Ezekben a koordinátákban (for ) a metrika a következő lesz $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

amelyből Minkowski lesz a nagy r . Ezeket az időkoordinátákat és mérőszámokat Eddington és Finkelstein ismertette tanulmányaikban.

Az Eddington-Finkelstein koordináták még mindig hiányosak, és bővíthetők. Például a végtelenbe való mozgás egy időszerű geodetikus, meghatározott (megfelelő idővel ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

legyen v ( τ ) → −∞ mint τ → 2 GM . Vagyis ennek az időszerű geodetikusnak véges megfelelő hossza van a múlthoz képest, ahol a v közeledtével kilép a horizontból ( r = 2 GM ) . A véges v és r < 2 GM tartományok eltérnek a véges u és r < 2 GM tartományoktól . Az r = 2 GM horizonttal és egy végső v -vel ( fekete lyuk horizont ) különbözik az r = 2 GM és végső u ( fehér lyuk horizont ) horizonttól. $-\infty$

A Kruskal-Szekeres koordinátákban lévő metrika egyetlen koordinátarendszerben lefedi a teljes kiterjesztett Schwarzschild-téridőt. Legfőbb hátránya, hogy ezekben a koordinátákban a metrika időbeli és térbeli koordinátáktól is függ. Az Eddington-Finkelstein koordinátarendszerben, akárcsak a Schwarzschild koordinátákban, a metrika nem függ az "időtől" (akár t Schwarzschildben, akár u vagy v különböző Eddington-Finkelstein koordinátarendszerekben), de egyik sem fedi le a teljes teret. -idő [7] .

Az Eddington-Finkelstein koordináták némi hasonlóságot mutatnak a Gullstrand-Painlevé koordinátákkal , mivel mindketten függetlenek az időtől, és behatolnak (szabályos) a jövőbeli (fekete lyuk), vagy a múltbeli (fehér lyuk) horizontokba. Mindkét metrika nem átlós (az állandó "idő" hiperfelületei nem merőlegesek az r állandó hiperfelületeire ). Az utóbbiak sík térbeli metrikával rendelkeznek, míg az előbbi térbeli („időállandó”) hiperfelületei nullák, és ugyanolyan metrikájúak, mint egy fénykúp a Minkowski-térben ( lapos téridőben). $t=\pm r$

Jegyzetek

↑ Eddington A. S. (1924. február). „ Whitehead és Einstein képletek összehasonlítása ” (PDF) . Természet . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2021-11-22 . Letöltve: 2021-06-26 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ David Finkelstein (1958). " Egy pontrészecske gravitációs mezőjének aszimmetriája a múltban és a jövőben " . Fizikai áttekintés . 110 , 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). „ Gravitációs összeomlás és tér-idő szingularitások ” . Fizikai áttekintő levelek . 14 (3):57-59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne és Wheeler, 1977 , p. 24.
↑ Mizner, Thorne és Wheeler 1977 , p. 25.
↑ Mizner, Thorne és Wheeler 1977 , p. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne és Wheeler, 1977 , p. 27.
↑ Lásd például a Gravitáció 31.2-es keretét.

Irodalom

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - 510 p.