Kvantor

A kvantor olyan logikai műveletek általános neve, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságtartalmát, és egy utasítást hoznak létre . Leggyakrabban említett:

Univerzális kvantor (megnevezése:, így szól: "minden ...", "minden ...", "minden ..." vagy "minden ...", "bármely ...", "minden .. ."). $\mindenkinek$
Létezési kvantor (megnevezése:, olvasható: „van ...” vagy „van ...”). $\létezik$

A matematikai logikában egy kvantor képlethez való hozzárendelését kötésnek vagy kvantifikációnak nevezik .

A sokértékű logikában más kvantorokat is bevezetnek, például a plurális kvantort (Rescher- kvantifikátor ) (fordított M -vel jelölve, "a többség számára ...").

Példák

Jelölje az " x osztható 9-cel" predikátumot . Az univerzális kvantor segítségével formálisan a következő állításokat írhatjuk fel (természetesen hamisakat): $P(x)$

bármely természetes szám 9 többszöröse;
minden természetes szám 9 többszöröse;
minden természetes szám 9 többszöröse;

a következő módon:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

A következő (már igaz) állítások az egzisztenciális kvantort használják :

vannak természetes számok, amelyek 9 többszörösei;
van egy természetes szám, amely 9 többszöröse;
legalább egy természetes szám 9 többszöröse.

Formális jelölésük a következő:

(\exists x\in {\mathbb {N}})P(x)

A koncepció bemutatása

Legyen megadva a prímszámok halmazán az "egy prímszám páratlan" predikátum . Helyettesítse az „bármely” szót az állítmány elé. Azt a hamis állítást kapjuk, hogy "bármely prímszám páratlan" (ez az állítás hamis, mivel a 2 páros prímszám). $x$ $P(x)$ $x$ $x$

Ha behelyettesítjük a „létezik” szót e predikátum elé , akkor azt az igaz állítást kapjuk, hogy „Van páratlan prímszám ” (például ). $P(x)$ $x$ $x=3$

Így az állítmányt állítmánygá alakíthatjuk, ha az állítmány elé teszünk olyan szavakat („minden”, „létezik” és mások), amelyeket a logika kvantoroknak nevez.

Kvantifikátorok a matematikai logikában

Az állítás azt jelenti, hogy a változó tartománya benne van a predikátum igazságtartományában . $\forall xP(x)$ $x$ $P(x)$

("Minden értékre az állítás igaz"). $x$

Az állítás azt jelenti, hogy az állítmány igazságtartománya nem üres. $\exists xP(x)$ $P(x)$

("Létezik , amely alatt az állítás igaz"). $x$

Szabad és kötött változók

Az F képlet szabad változóinak* halmazát rekurzív módon definiáljuk a következőképpen:

Szabad változók.

Az atomi képletben szereplő összes változó ennek a képletnek a szabad változója,
az F képlet szabad változói az ¬F képlet szabad változói,
azok a változók, amelyek az F vagy G képlet legalább egyikében szabadok, az (F D G) képlet szabad változói,
v kivételével minden F képlet szabad változója a Kv F képlet szabad változója.

zárt képlet.

A szabad változók nélküli képletet zárt képletnek vagy mondatnak nevezzük.

Kapcsolódó változó.

A v változó egy F képletben van kötve, ha F tartalmazza a Kv előfordulását, ahol K egy kvantor.

Kötött átnevezés, szabad átnevezés

Műveletek kvantorokon

A kvantor tagadási szabály a kvantorokat tartalmazó utasítások tagadásának létrehozására szolgál, és a következő formájú:

$\lnot (\forall x)P(x)=(\exists x)\lnot P(x)$
$\lnot (\exists x)P(x)=(\all x)\lnem P(x)$

Megjelenéstörténet

A filozófusok régóta figyeltek azokra a logikai műveletekre, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságának hatókörét, de nem emelték ki őket a műveletek külön osztályaként. Tehát Thomas Hobbes úgy gondolta, hogy ezek a nevek részei [1] .

Bár a kvantor-logikai konstrukciókat széles körben használják mind a tudományos, mind a mindennapi beszédben, formalizálásukra csak 1879 -ben , Frege "The Calculus of Concepts" című könyvében került sor. Frege jelölése nehézkes grafikai konstrukcióknak tűnt, és nem fogadták el. Ezt követően sok sikeresebb szimbólumot javasoltak, de a létezés kvantor jelölése (az angol Exists első betűje - létezik), amelyet Charles Pierce javasolt 1885 - ben , és az általános kvantor jelölése ( németül: Alle $\létezik$ $\mindenkinek$ - "minden", "mindenki"), Gerhard Gentzen alkotta meg 1935- ben az egzisztenciális kvantor szimbólumával analógia alapján. A „kvantifikátor”, „számszerűsítés” kifejezéseket szintén Peirce javasolta.

Jegyzetek

↑ "De a szavak: any, any, some, stb., amelyek más szavak általános vagy sajátos jelentését jelzik, nem nevek, hanem csak névrészek." (Thomas Hobbes "A testen")

Irodalom

Kleene S. K. Bevezetés a metamatematikába, ford. angol nyelvből, M., 1957, p. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematikai logika. Szerk. 3., sztereotip. — M.: KomKniga, 2006. — 240 p.
Novikov PS A matematikai logika elemei. — M.: Nauka, 1973. — 400 p.
Church A. Bevezetés a matematikai logikába, ford. angol nyelvből, 1. kötet, M., 1960, p. 42-48.

Linkek

kvantorok

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323