Interpoláció több csomóponttal

A több csomóponttal történő interpoláció egy minimális fokú polinom felépítésének problémája , amely bizonyos pontokon ( interpolációs csomópontokon ) adott értékeket, valamint derivált értékeket vesz fel egy bizonyos sorrendig .

Megmutatjuk, hogy létezik egy egyedi fokszámú polinom, amely kielégíti a feltételeket: $\P_n(x)$ $\n$

P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots ,m;k=0,\cdots ,n_{i}-1

, hol .

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1

Ezt a polinomot többszörös csomós polinomnak vagy Hermite polinomnak nevezik . Általában:

P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_ {i, k}

, a csomópontok száma és a csomópont többszöröse .

\m

{\displaystyle \ n_{i))

\x_{i}

Charles Hermite megmutatta

l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j} )^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\sum _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_ {s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}

, hol vannak a függvény Taylor-sorának együtthatói .

{\displaystyle \ c_{s}^{i))

{\frac {(x-x_{i})^{n_{i))}{\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j} }}}=\sum _{s=0}^{\infty }c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}

Bizonyítás

Különleges esetek

Ha mindegyik egyenlő eggyel, akkor a Hermite interpolációs polinom ugyanaz, mint a Lagrange interpolációs polinom . ${\displaystyle \ n_{i))$
Ha az interpolációs csomópontok száma egy, akkor a Hermite interpolációs polinom ugyanaz, mint a Taylor-polinom .
Ha az interpolációs csomópontok száma kettő, és mindegyik rendelkezik a függvény értékével és a deriváltjának értékével, akkor egy köbös spline felépítésének problémája van .

Interpoláció több csomóponttal

Bizonyítás

Különleges esetek

Az interpoláció többi részének becslése

Lásd még

Irodalom