Volterra integrál egyenlet

A Volterra-integrálegyenlet ( a Volterra-integrálegyenlet [1] írásmódja is gyakori ) az integrálegyenletek egy speciális típusa . Vito Volterra olasz matematikus javasolta, majd Traian Lalescu tanulmányozta a Sur les équations de Volterra című könyvében , amelyet 1908-ban írt Émile Picard irányítása alatt . 1911-ben Lalescu megírta az első könyvet az integrálegyenletekről. Az egyenleteket a demográfiában, a viszkoelasztikus anyagok tanulmányozásában, a biztosítási matematikában használják a helyreállítási egyenlet révén.

Ezek az egyenletek két típusra oszthatók.

Az első típusú lineáris Volterra-egyenlet:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

ahol egy adott függvény és egy ismeretlen függvény. $f$ $x$

Második típusú lineáris Volterra-egyenlet:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

Az operátorelméletben és a Fredholm elméletben a megfelelő egyenleteket Volterra operátornak nevezik .

Az integrálban lévő függvényt gyakran kernelnek nevezik . Az ilyen egyenletek Laplace módszerével elemezhetők és megoldhatók. $K$

Egyenletek homogén kernellel

Első fajta

f(t)=\int _{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

A megoldás a Laplace transzformáción alapul . Az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformációjának végrehajtása és tilde jelölése:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

Ily módon

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Ha a függvényeknél rendre , akkor a nagy függvénynél . Ez azt jelenti, hogy funkcionálisan hozzá kell járulni. Így a megoldás így néz ki $t\to 0$ $K(t),f(t)$ ${\displaystyle K_{0},f_{0))$ $p$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\right)

Második fajta

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Hasonló érvelés ahhoz a tényhez vezet, hogy

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Itt a bizonytalanság esete nem merül fel és

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\jobbra)

Jegyzetek

↑ Verzhbitsky M.V. Numerikus módszerek (matematikai elemzés és közönséges differenciálegyenletek). Tanulmányi útmutató . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 p. — ISBN 9785445838760 .