Konfidenciaintervallum egy normál minta várható értékéhez

Ismert szórási eset

Legyen egy független minta a normális eloszlásból , ahol az ismert varianciája . Definiáljunk egy tetszőleges értéket , és alkossunk konfidenciaintervallumot az ismeretlen átlaghoz . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\sigma ^{2}$ $\alpha \in[0,1]$ $\mu$

Nyilatkozat. Véletlenszerű érték

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

szabványos normál eloszlású . Legyen — a standard normális eloszlás kvantilisa . Utóbbi szimmetriája miatt a következőket kapjuk: $\mathrm {N} (0,1)$ $z_{\alpha }$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\right)= 1-\alpha

Miután behelyettesítettük a kifejezést és az egyszerű algebrai transzformációkat, a következőket kapjuk: $Z$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \ mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

Ismeretlen szórás esete

Legyen egy független minta normális eloszlásból, ahol ismeretlen állandók vannak. Építsünk konfidencia intervallumot az ismeretlen átlaghoz . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu ,\sigma ^{2}$ $\mu$

Nyilatkozat. Véletlenszerű érték

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

ahol a torzítatlan minta szórása, van egy Student-féle eloszlása szabadságfokkal . Legyen — a Student-féle eloszlás kvantilisei . Utóbbi szimmetriája miatt a következőket kapjuk: $S$ $n-1$ $\mathrm {t} (n-1)$ $t_{\alpha ,n-1}$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2)), n-1}\right)=1-\alpha

Miután behelyettesítettük a kifejezést és az egyszerű algebrai transzformációkat, a következőket kapjuk: $T$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}} \leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\jobbra )=1-\alpha