Hiperbolikus ortogonalitás

A hiperbolikus ortogonalitás  egy fogalom az euklideszi geometriában . Két egyenest hiperbolikusan merőlegesnek mondunk , ha az adott hiperbola aszimptotája mentén egymásról tükröződnek .

Két speciális hiperbolát gyakran használnak a síkban:

(A) xy = 1, ha y = 0 aszimptotaként. Az x tengely mentén tükrözve az y = mx egyenes y = -mx lesz . Ebben az esetben az egyenesek hiperbolikusan merőlegesek, ha meredekségeik ellentétes számok . (B) x 2  - y 2 = 1, ha y = x aszimptotaként. Az y = mx egyeneseknél −1 < m < 1 esetén, ha x = 1/ m , akkor y = 1. Az egyenesen lévő (1/ m , 1) pont y = x - en keresztül tükröződik (1, 1/ m ). Ezért a visszavert egyenes meredeksége 1/m, a hiperbolikus merőleges egyenesek meredeksége pedig inverz .

A hiperbolikus ortogonalitás relációja valójában a síkban lévő párhuzamos egyenesek osztályaira vonatkozik, ahol bármely adott egyenes képviselhet egy osztályt. Így egy adott hiperbola és egy A aszimptota esetén az ( a, b ) egyenespár hiperbolikusan merőleges, ha létezik olyan ( c, d ) pár, amelyre , és c d  visszaverődése A -n keresztül .

A görbe érintőjére merőleges sugár tulajdonságát a hiperbolikus ortogonalitás fogalmával kiterjesztjük körről hiperbolára. [1] [2]

A Minkowski-téridő 1908 - as megjelenése óta bevezették a téridő síkjában az idővonalra hiperbolikusan ortogonális (a világvonal érintője ) pontok fogalmát az események egy adott idővonalhoz viszonyított egyidejűségének meghatározására. Minkowski tanulmánya (B) típusú hiperbolát használ. [3] Két vektor normális (a hiperbolikus ortogonalitás értelmében), ha

Ahol c = 1, y és z egyenlő nullával, x ≠ 0, t 1 ≠ 0, akkor .

Az analitikus geometriában bilineáris formát használnak az ortogonalitás leírására , ahol két elem merőleges, amikor a bilineáris alakja eltűnik. A komplex számok síkjában a bilineáris alak , míg a hiperbolikus számok síkjában a bilineáris alak

Két z 1 és z 2 vektort a komplex síkban, valamint w 1 és w 2 vektort a hiperbolikus síkban euklideszi ortogonálisnak , illetve hiperbolikusan ortogonálisnak nevezzük , ha a bilineáris formák belső szorzata nulla. [négy]

Adott A aszimptotájú hiperbola A -beli tükrözése a konjugált hiperbolát adja . Az eredeti hiperbola bármely átmérője tükröződik a konjugátum átmérőjére. A relativitáselméletben a konjugált átmérők által adott irányokat térbeli és időbeli tengelynek veszik.

Ahogy E. T. Whittaker 1910-ben írta: "A hiperbola változatlan, ha bármely konjugált átmérőpárt új tengelynek vesszük, és az új hosszegységet ezen átmérők bármelyikének hosszával arányosan vesszük." [5] A relativitáselmélet ezen elvére alapozva írta meg a Lorentz-transzformációt modern formájában, a gyorsaság fogalmát használva .

Edward B. Wilson és Gilbert N. Lewis 1912-ben dolgozta ki a szintetikus geometrián belüli koncepciót . Megjegyzik, hogy "a mi síkunkban egyetlen pár merőleges hiperbolikus-ortogonális egyenes sem alkalmas koordinátatengelynek, mint bármely más pár" [1]

A hiperbolikus ortogonalitás fogalma az analitikus geometriában merült fel , figyelembe véve az ellipszisek és hiperbolák konjugált átmérőjét. [6] Ha g és g' a konjugált átmérők meredeksége, akkor ellipszis és hiperbola esetén. Ha a = b , akkor az ellipszis egy kör, a konjugált átmérői merőlegesek, a hiperbola téglalap alakú, a konjugált átmérői pedig hiperbolikusan merőlegesek.

A projektív geometria terminológiájában a hiperbolikus ortogonális egyenes felvételének művelete involúció . Tegyük fel, hogy a függőleges vonal meredeksége ∞, akkor minden egyenesnek van meredeksége a projektíven kiterjesztett valós egyenesben . Ezután attól függően, hogy az (A) vagy (B) hiperbolák közül melyiket használjuk, a művelet egy példa a hiperbolikus involúcióra , ahol az aszimptota invariáns.

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Edwin B. Wilson és Gilbert N. Lewis (1912): „A relativitás tér-idő sokfélesége. A mechanika és elektromágnesesség nem euklideszi geometriája" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, pl. 415
  2. ↑ Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass – Bepillantás Euklidész ikergeometriájába, a Minkowski-geometriába Archiválva : 2011. július 16. a Wayback Machine -ben, ICME-10 Koppenhága; 6. és 7. oldal.
  3. ↑ Minkowski, Hermann (1909), Raum und Zeit , Physikalische Zeitschrift vol . 10: 75–88 
    • Különféle angol fordítások a Wikiforrásban: Tér és idő
  4. ↑ Sobczyk, G. (1995) Hiperbolikus számsík archiválva 2013. november 13-án a Wayback Machine -nél , megjelent a College Mathematics Journal 26:268-80 -ban is .
  5. ↑ E. T. Whittaker (1910) Az éter és az elektromosság elméletének története Dublin: Longmans, Green and Co. (lásd 441. oldal)
  6. ↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics archiválva 2016. március 5-én a Wayback Machine -nél , ellipszis § 33, 38. oldal és hiperbola § 41, 49. oldal, a Hathi Trust

Irodalom