Asszociativitás (matematika)

Az asszociativitás ( kompatibilitás ) egy bináris művelet olyan tulajdonsága, amely abból áll, hogy egy képletet tetszőleges sorrendben szekvenciálisan alkalmazhatunk az elemekre . $\circ$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

A kifejezést William Hamilton vezette be 1853 -ban .

Mivel asszociatív műveleteknél a kifejezés eredménye nem függ az alkalmazás sorrendjétől, a zárójeleket a jelölésnél elhagyjuk. Nem asszociatív műveleteknél a for kifejezés nem kerül meghatározásra az alkalmazás sorrendjének további megállapodása nélkül. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Példák asszociatív műveletekre:

valós számok összeadása : $(a+b)+c=a+(b+c)$
valós számok szorzása : ${\megjelenítési stílus (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
funkció összetétele : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

A nem asszociatív műveletre példa a hatványozás - a kifejezés eredménye közvetlenül függ a zárójelek elrendezésétől, általános esetben . $a^{b^{c))$ $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$

Nem minden kommutatív művelet asszociatív – vannak kommutatív magmák és nem asszociatív is.

Az asszociativitás fontos szerepet játszik az általános algebrában : a legtöbb vizsgált struktúrában a bináris műveletek asszociatívak ( csoportok , gyűrűk , mezők , félrácsok és rácsok ). A félcsoportok elmélete tulajdonképpen az asszociativitás jelenségét vizsgálja általános algebrai módszerekkel. Ugyanakkor különös figyelmet fordítanak a nem asszociatív rendszerekre is, nevezetesen: kvázicsoportok , hurkok , nem asszociatív gyűrűk , nem asszociatív algebrák . Vizsgálatukat bonyolítja, hogy az asszociatív rendszerek számos tulajdonsága nem érvényes rájuk. Néha a tulajdonságok nem asszociatív struktúrákra való hordozhatóságának problémája nem triviálisnak bizonyul (például nyitott a Lagrange-tétel véges hurokra vonatkozó érvényességének kérdése ).

A számítástechnikában az asszociativitást hasznos tulajdonságnak tekintik, különösen, amely lehetővé teszi a párhuzamosság használatát egy művelet szekvenciális alkalmazásainál. Ugyanakkor sok gyakorlati művelet (összeadás és szorzás lebegőpontos számokkal végzett munka során ) nem asszociatív.

A tulajdonság természetesen általánosítható az -ary esetre: egy műveletet asszociatívnak nevezünk, ha az azonosság mindenre érvényes: $n$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \pontok, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots ,x_{n}),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ pontok ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\pontok ,x_{2n -egy})

Az asszociativitás tulajdonság gyengített változatai - hatvány asszociativitás , alternatíva , rugalmasság - bennük a szekvenciális alkalmazás sorrendjének megváltoztatása csak korlátozott számú esetre lehetséges.

Irodalom

Aszociativitás - cikk a Mathematics Encyclopedia-ból . O. A. Ivanova, D. M. Szmirnov
Shevrin L. N. . fejezet IV. Félcsoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .