A forradalom ellipszoidja

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A forgásellipszoid (gömb) a háromdimenziós tér forgásfelülete , amelyet egy ellipszis egyik főtengelye körüli forgása alakít ki .

A „gömb” kifejezést a forradalom ellipszoidjának két változatának jelölésére Arkhimédész vezette be : „... a következőket valljuk: ha az ellipszis egy rögzített főtengely megtartása mellett forog, és visszatér eredeti helyzetébe, akkor az ábra által lefedett hosszúkás gömbnek (παραμακες σφαιροιδες) nevezzük. Ha az ellipszis úgy forog, hogy a kistengely mozdulatlan marad, és visszafordul, akkor az általa lefedett alakzatot lapos gömbnek (επιπλατυ σφαιροιδες) nevezzük.» [egy]

A forradalom ellipszoid egy speciális esete egy ellipszoidnak , amelynek három féltengelye közül kettő azonos hosszúságú

( ): $a_{x}=a_{y}=a$

{\frac {x^{2}}{a_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{ 2}}}=1.

Abban az esetben, ha mindhárom féltengely egyenlő, az eredeti ellipszis egy kör , és a forradalom ellipszoidja gömbbé degenerálódik .

A forradalom prolate ellipszoidja

A prolate forgásellipszoid (prolate spheroid) úgy is definiálható, mint a tér azon pontjainak helye, amelyeknél a két adott pont ( gócok ) távolságának összege állandó.

A megnyúlt forgásellipszoid formájú tükör a következő tulajdonsággal rendelkezik: az ellipszoid egyik fókuszából kiinduló fénysugarak a visszaverődés után egy másik fókuszban gyűlnek össze.

A forradalom lapos ellipszoidja

Egy lapos forgásellipszoid (lapos gömb) úgy is meghatározható, mint a tér azon pontjainak helye, amelyeknél egy adott kör legközelebbi pontja és a legtávolabbi pont távolságának összege állandó.

Alapképletek

Felszíni terület:

lapos forgásellipszoid ( ): $a>b$

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2)){\sqrt {a^{2}-b^{2))))\ln \left({\frac { a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e ^{2}}{e}}\operátornév {Arth} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({ \frac {1+e}{1-e}}\jobbra),

ahol

e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};

megnyúlt forradalom ellipszoid ( ): $a<b$

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac { \sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {b}{ae}} \arcsin \,e\right),

ahol

e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.

Hangerő:

V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b

Példák

A Föld alakja - jó közelítéssel lapos forgásellipszoid -val . ${{\frac {a}{b}}\approx {{\frac {301}{299}}}}$

Alkalmazás

A megnyúlt forgási ellipszoid azon tulajdonságát, hogy az egyik fókuszba irányított sugarakat egy másik fókuszba veri vissza , a Gregory- rendszer teleszkópjaiban és a Gregory-antennákban használják .

A bal oldalon az RT-70 rádióteleszkóp látható , amely a Gregory antennarendszer szerint készült.
A jobb oldalon a Gregory-távcső optikai elrendezése látható; a kis tükör megnyújtott forgásellipszoid alakú

Jegyzetek

↑ L. Russo. Az elfeledett forradalom (neopr.) . - Springer, Berlin, 2004. - 180. o .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Britannica (online) Asztali