Lánc komplex

A lánckomplexum és a cochain komplex kettős fogalma a homológ algebra alapfogalmai .

Ezeket a fogalmakat eredetileg az algebrai topológiában használták a topológiai terek tanulmányozására. A homológ algebrában absztrakt algebrai struktúrákként kezelik őket, tekintet nélkül bármilyen topológiai térre .

A lánckomplexek esetében meg kell határozni a homológiacsoportjaikat (kohomológiai csoportok a cochain komplexek esetében). A lánckomplexek egy tetszőleges Abel-kategóriában is definiálhatók .

Definíciók

A lánckomplexum modulok és homomorfizmusok sorozata , amelyeket határoperátoroknak vagy differenciáloknak neveznek : $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots

olyan hogy . Az elemeket -dimenziós láncoknak , a mag - -dimenziós ciklusok elemeit , a kép elemeit -dimenziós határoknak nevezzük . Ebből következik, hogy ( félig precíziós ). Ha ezen felül , akkor egy ilyen komplexumot nevezünk egzaktnak . $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $K_n$ $n$ $Z_{n}K=\operátornév {Ker} \partial _{n}$ $n$ $B_{n}K=\operátornév {Im} \partial _{n+1}$ $n$ $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $B_n K \Z_n K részhalmaz$ $B_n K = Z_n K$

A rögzített gyűrűn lévő modulok lánckomplexei egy kategóriát alkotnak a morfizmusokkal , ahol a morfizmusok olyan sorozata, amely a differenciálissal ingázik, azaz . $\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L })$ $\varphi_{\bullet}$ $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$ $\varphi_{n}$ $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$

A lánckomplexum úgy is definiálható, mint egy –1 fokozatú differenciálással ellátott, fokozatos modul . $M_{*}$ $\partial :M_{*}\to M_{*}$

Lehetőség van olyan komplexek definiálására is, amelyek egy tetszőleges Abeli-kategória objektumaiból állnak , mint például az Abeli- csoportok kévéi. [egy]

Cochain komplex

A cochain komplex egy olyan fogalom , amely kettős a lánckomplexussal . Modulok és homomorfizmusok sorozataként definiálható úgy , hogy $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$

d^{n+1} d^n = 0

A kochain komplex, akárcsak a lánckomplex, egy félig pontos sorozat.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d ^{n+1}}

A kochain komplexekkel kapcsolatos tulajdonságok és fogalmak kettősek a lánckomplexek analóg fogalmaival és tulajdonságaival.

Homológia és kohomológia

Egy lánckomplex n-dimenziós homológiacsoportja a pontossági mértéke az n-edik tagban, és definíciója: $H_n$ $(K_\bullet, \partial_\bullet)$

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}

. A pontos komplexumhoz

H_n=0

Egy kochain komplex n-dimenziós kohomológiai csoportját hasonlóképpen határozzuk meg:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1 }

Lánckomplexek homomorfizmusai

A lánckomplexek homomorfizmusa egy olyan leképezés, amelynél a következő diagram kommutatívnak bizonyul: $(A^\bullet , \delta^\bullet)$ $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ $f\colon A_n \to B_n, \all n\in \N,$

A lánckomplexek homomorfizmusa homomorfizmust indukál homológ csoportjaik között.

A komplexek és a belső Hom tenzorszorzata

Ha V = V és W = W lánckomplexek, akkor tenzorszorzatuk egy olyan lánckomplexum, amelynek i fokú elemei a következő alakúak ${}_{*}$ ${}_{*}$ $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},

a különbséget pedig a képlet adja meg

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,

ahol a és b V és W tetszőleges homogén elemei , és az a elem fokszámát jelöli . $\left|a\right|$

Ez a tenzorszorzat lehetővé teszi, hogy a K - modulok lánckomplexeinek kategóriáját (egy tetszőleges K kommutatív gyűrűre) egy szimmetrikus monoid kategória szerkezetével ruházzuk fel . A csomózási műveletet felbontható tenzorokon a képlet adja meg ${\text{Ch}}_{K}$

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

A jel szükséges ahhoz, hogy a csomózási művelet lánckomplexek homomorfizmusa legyen. Ezenkívül a K -modulok lánckomplexeinek kategóriájában van egy belső Hom : a V és W lánckomplexeknél a V és W belső Hom , amelyet hom( V , W ) jelöl, egy olyan lánckomplexum, amelynek elemei n fok alakja , és a képlet által megadott differenciál $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$

(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))

Van egy természetes izomorfizmus

{\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))

Lánchomotópia

A komplexek homomorfizmusai közötti lánchomotópia és a lánckomplexek és a +1 fokú (azaz ) homomorfizmusa, amelyre $D\kettőspont X \Y-ig$ $f$ $g$ $(X^\bullet, \partial^\bullet)$ $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ $D_k \kettőspont X_k \–Y_{k+1}$

\delta D + D \partial = g - f

\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

A kochain komplexek esetében a megfelelő kommutatív diagram alakja van

Jegyzetek

↑ Összetett // Matematikai enciklopédia .

Irodalom

Grothendieck A. A homológiai algebra néhány kérdéséről, - M .: 1961. (A "Matematika" gyűjtemény B-ka).
Dold A. Előadások az algebrai topológiáról, - M. : Mir, 1976.
Cartan A. , Eilenberg S. Homológiai algebra, - M .: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1960.
McLane S. Homology, - M .: Mir, 1966.