Központi binomiális együttható

A matematikában az n-edik központi binomiális együtthatót a következő kifejezés határozza meg binomiális együtthatókban

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

mindenkinek .

n\geq 0

Nevüket onnan kapták, hogy pontosan a Pascal-háromszög páros sorainak közepén vannak . Az első néhány központi binomiális együtthatót az alábbiakban írjuk le, n = 0-tól kezdve:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 924 , 3432 , 12870 , 48620 , ... OEIS sorozat A000984

Tulajdonságok

Generáló funkció :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x))))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

A Stirling-képlet szerint a következőket kapjuk:

{2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n))))

at .

n\jobbra nyíl\infty

Hasznos korlátozások:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

mindenkinek

n\geq 1

Ha nagyobb pontosságra van szükség:

{2n \choose n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\jobb)

ahol mindenkinek .

{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}

n\geq 1

Ehhez a fogalomhoz szorosan kapcsolódnak az ún. Katalán számok , C n . Képletük:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}

mindenkinek .

n\geq 0

A központi binomiális együtthatók általánosításának tekinthetők a számok , minden valós n esetén, amelyre a kifejezés definiálva van, ahol a Gamma függvény , ez pedig a Béta függvény . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Lásd még

Erdős négyszögletesség-feltevés

Központi binomiális együttható

Tulajdonságok

Lásd még

Linkek