Hausdorff tér

A Hausdorff-tér olyan topológiai tér , amely kielégíti a T 2 erős elválasztási axiómát .

Felix Hausdorffról , az általános topológia egyik megalapítójáról nevezték el . A topológiai tér eredeti meghatározása magában foglalta a ma Hausdorffnak nevezett követelményt.

Néha a Hausdorff-topológia kifejezést használják egy halmazon lévő Hausdorff-topológiai tér szerkezetének jelölésére .

Definíció

Egy topológiai teret Hausdorff-nak nevezünk, ha bármely két különböző pontnak van nem metsző szomszédsága , . $x$ $x$ $y$ $x$ $U(x)$ $V(y)$

Példák és ellenpéldák

Minden metrikus terek és metrizálható terek Hausdorff , különösen: Euklideszi terek , sokaságok , az elemzésben használt végtelen dimenziós függvényterek többsége , mint pl. vagy , . $\mathbb {R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Ha egy topológiai csoport egy T 0 -tér , akkor az Hausdorff. Ha T 0 nem teljesül, akkor a csoport semleges elemének bezárásával történő faktorizálás Hausdorff teret ad [1] . Emiatt egyes források a Hausdorffnesst is belefoglalják a topológiai csoport definíciójába.

A nem Hausdorff-tér legegyszerűbb (és legfontosabb) példája az összekapcsolt kettőspont , és általánosabban a Heyting-algebra . Például a Zariski topológia egy algebrai változaton nem Hausdorff. Nem Hausdorff, általában véve egy gyűrű spektruma .

Tulajdonságok

Egy sorozat (általánosabb esetben egy szűrő ) limitjének egyedisége , ha létezik ilyen korlát.
A Hausdorff-topológia definíciójával egyenértékű tulajdonság az átló zártsága a tér derékszögű négyzetében . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ $X\xx$ $x$
Egy Hausdorff-térben minden pontja zárt (vagyis egypontos halmazok).
Az altér és a Hausdorff-terek derékszögű szorzata is Hausdorff.
Általánosságban elmondható, hogy a Hausdorffness nem kerül át hányadosterekre .
Egy kompakt Hausdorff-tér akkor és csak akkor normális és mérhető, ha megszámlálható topológiabázisa van.
Bármilyen folytonos egy-egy leképezés egy kompakt térből a Hausdorff-térbe homeomorfizmus .
Bármely véges Hausdorff tér diszkrét.

Jegyzetek

↑ D. Ramakrishnan és R. Valenza. Fourier-elemzés számmezőkön. - Springer-Verlag, 1999. - (Diplomás szövegek matematikából).

Irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. - 2., sztereotip. - M. : Lan, 2010. - 368 p. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .