Walsh függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Walsh-függvények olyan függvénycsaládok, amelyek ortogonális rendszert alkotnak, és csak +1 és -1 értékeket vesznek fel a teljes definíciós tartományban.

A Walsh-függvények elvileg folyamatos formában is ábrázolhatók, de gyakrabban diszkrét elemek sorozataként határozzák meg őket. A Walsh-függvények egy csoportja egy Hadamard-mátrixot alkot . $2^{n}$ $2^{n}$

A Walsh-funkciók széles körben elterjedtek a rádiókommunikációban, ahol kódosztási csatornák ( CDMA ) megvalósítására használják őket, például olyan cellás szabványokban, mint az IS-95, CDMA2000 vagy UMTS .

A Walsh-függvények rendszere egy ortonormális bázis , és ennek eredményeként lehetővé teszi tetszőleges hullámforma jelek általánosított Fourier -sorokká történő bontását .

A Walsh-függvények általánosítása kettőnél több érték esetén a Vilenkin-Chrestenson függvények .

Megnevezés

Legyen a Walsh-függvény a [0, T ] intervallumon definiálva; ezen az intervallumon kívül a függvény periodikusan megismétlődik. Vezessük be a dimenzió nélküli időt . Ekkor a k számú Walsh-függvényt jelöljük . A függvények számozása a függvények sorrendjének módjától függ. Van egy Walsh-rendezés - ebben az esetben a függvények a fent leírtak szerint vannak jelölve. A Paley ( ) és a Hadamard ( ) sorrend szintén gyakori . $\theta =t/T$ $\operatorname {wal} (k,\theta )$ $\operátornév {pal} (p,\theta )$ $\operatorname {had} (h,\theta )$

A pillanatban a Walsh-függvények párosra és páratlanra oszthatók. A és a címkékkel vannak ellátva . Ezek a függvények hasonlóak a trigonometrikus szinuszokhoz és koszinuszokhoz. A függvények közötti kapcsolat a következőképpen fejeződik ki: $\theta=0$ $\operatorname {cal} (k,\theta )$ $\operatorname {sal} (k,\theta )$

\operátornév {cal} (k,\theta )=\operátornév {wal} (2k,\theta ),

\operátornév {sal} (k,\theta )=\operátornév {wal} (2k-1,\theta ).

Formáció

A formálásnak többféle módja van. Tekintsük az egyiket, a legszemléletesebbet: a Hadamard-mátrixot rekurzív módszerrel állíthatjuk elő, blokkmátrixok felépítésével a következő általános képlet szerint:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.

Így alakítható ki a hosszúságú Hadamard-mátrix : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix)),

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmátrix)),

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmátrix)

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&\-1&1 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmátrix}},

A Hadamard-mátrix minden sora Walsh-függvény.

Ebben az esetben a függvények Hadamard szerint vannak rendezve. A Walsh-függvény számának kiszámítása a Hadamard-függvény számából történik úgy, hogy a biteket a szám bináris jelölésében fordított sorrendben átrendezzük, majd az eredményt a Gray-kódból konvertáljuk .

Példa

Walsh szám	bináris forma	Átalakítás Gray kódból	Bitcsere	Hadamard szerinti szám
0	000	000	000	0
egy	001	001	100	négy
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
négy	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	egy

Az eredmény egy Walsh-mátrix, amelyben a függvények Walsh szerint vannak rendezve:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&-1&1&1&-1 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmátrix}}.

Tulajdonságok

1. Ortogonalitás

Két különböző Walsh-függvény pontszorzata nulla:

\int \limits _{0}^{1}\operátornév {wal} (n,\theta )\cdot \operátornév {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\ szöveg{s }}k\neq n.

Példa

Tegyük fel, hogy n = 1, k = 3 (lásd fent). Akkor

\int \limits _{0}^{1}\operátornév {wal} (1,\theta )\cdot \operátornév {wal} (3,\theta )\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplicativitás

Két Walsh-függvény szorzata adja a Walsh-függvényt:

\operátornév {wal} (n,\theta )\cdot \operátornév {wal} (k,\theta )=\operátornév {wal} (i,\theta ),

ahol a bináris rendszer számainak bitenkénti összeadása modulo 2 . $i=n\oplus k$

Példa

Tegyük fel, hogy n = 1, k = 3. Ekkor

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

A szorzás eredményeként a következőt kapjuk:

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operátornév {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\operátornév {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\operatorname {wal} (2,\theta )\\\end{tömb}}

Walsh-Hadamard transzformáció

Ez az általánosított Fourier-transzformáció speciális esete , amelyben a Walsh-függvényrendszer szolgál alapul.

Az általánosított Fourier-sort a képlet ábrázolja

S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),

ahol az egyik bázisfüggvény és egy együttható. $u_{i}$ $c_{i}$

A jel kiterjesztésének a Walsh-függvényekben van formája

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operátornév {wal} (k,t/T).

Diszkrét formában a képlet a következőképpen írható:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operátornév {wal} (k,n).

Az együtthatók úgy határozhatók meg, hogy a felbontott jel skaláris szorzatát a megfelelő Walsh-függvénnyel végezzük: $c_{i}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operátornév {wal} (k,t/T)\, dt.

Figyelembe kell venni a Walsh-függvények periodikus jellegét.

Van egy gyors Walsh-transzformáció is [1] . Sokkal hatékonyabb, mint a Walsh-Hadamard transzformáció [2] . Ezenkívül a két változós speciális esetben a Walsh-függvényeket felületként általánosítjuk [3] . A Walsh-függvényekhez [4] hasonló ortogonális bináris függvényeknek nyolc alapja is létezik , amelyek szabálytalan szerkezetükben különböznek egymástól, amelyeket szintén két változós függvényekre általánosítanak. Mind a nyolc bázis esetében bebizonyosodott, hogy a "lépés" függvények bináris függvények véges összege formájában, a megfelelő együtthatókkal súlyozva [5] .

Irodalom

Baskakov S. I. Rádiótechnikai áramkörök és jelek. - M . : Felsőiskola, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh sorozatok és transzformációk: elmélet és alkalmazások. - M .: Nauka, 1987.
Zalmanzon L. A. Fourier, Walsh, Haar transzformációk és alkalmazása az irányítás, kommunikáció és egyéb területeken. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Lásd még

Jegyzetek

↑ GYORS WALSH ÁTALAKÍTÁS. V. N. Malozyomov archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél .
↑ Fast Walsh Transform archiválva : 2014. március 27. a Wayback Machine -nél .
↑ Romanuke VV A WALSH-FUNKCIÓK FELÜLETEKRE VALÓ ÁLTALÁNOSÍTÁSÁRÓL Archiválva : 2016. április 16. a Wayback Machine -nél .
↑ Romanuke VV A BINÁRIS FUNKCIÓK NYOLC ISMERTETT ORTONORMÁLIS ALAPJÁNAK ÁLTALÁNOSÍTÁSA FELÜLETEKRE Archiválva : 2016. október 5. a Wayback Machine -nél .
↑ Romanuke VV EGYENEKRE DISZKRÉT AZ ARGUMENT TENGELY FUNKCIÓJÁRA ÉS AZ ORTONORMÁLIS BÁZISOK SOROZATÁNAK ÁTVÉTELÉRE Archiválva : 2016. április 10. a Wayback Machine -nél .