Dirichlet függvény

A Dirichlet -függvény egy olyan függvény , amely egyet vesz a racionális értékekre, és nullát az irracionális értékekre , szabványos példája a mindenhol nem folytonos függvénynek . 1829- ben vezette be Dirichlet német matematikus . [egy]

Definíció

Szimbolikusan a Dirichlet-függvényt a következőképpen definiáljuk: [2] $D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}$

D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases} }

Tulajdonságok

A második Baer osztályba tartozik , azaz nem ábrázolható folytonos függvénysorozat (pontos) határértékeként, hanem folytonos függvénysorozat iterált határértékeként ábrázolható [ 3 ] [4] :

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

A definíciós tartomány minden pontja a második típusú (és egyben jelentős) szakadási pont. [5]

Periodikus függvény , periódusa bármely racionális szám, amely nem egyenlő nullával; A függvénynek nincs főperiódusa. [6]

Riemann értelmében nem integrálható . [7] Egyszerű funkció ; mérhető a Lebesgue-mértékhez képest ; a Dirichlet-függvény Lebesgue-integrálja bármely numerikus intervallumon nullával egyenlő; ez abból következik, hogy a racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.

Változatok és általánosítások

A Dirichlet -függvény egy változata a Riemann-függvény , más néven "Thomae-függvény" ( Thomae ).

Jegyzetek

↑ Ferreiros, 2013 , p. 150.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 115.
↑ Dunham, 2005 , p. 197.
↑ Rudin, 1976 , p. 162 7.5. példa.
↑ Zorich, 2019 , p. 145.
↑ enciklopédia , megjegyzés.
↑ Nikolsky, 1983 , p. 357.

Irodalom

Jose Ferreiros. A Gondolat labirintusa: A halmazelmélet története és szerepe a modern matematikában. - 2013. - 440 p.
G.M. Fikhtengolts. A differenciál- és integrálszámítás menete. - 8. kiadás - Fizmatlit, 2003. - T. 1.
CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. - Moszkva: "Nauka", A fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1983. - T. 1.
Dirichlet-függvény . Matematikai Enciklopédia . (határozatlan)
V. Nyemitszkij, M. Szludszkaja, A. Cserkasov. Matematikai elemzés tanfolyam. - Moszkva, Leningrád: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1940. - T. 1.
William Dunham. A Calculus Galéria. - Princeton University Press, 2005. - ISBN 0-691-09565-5 .
W. Rudin. A matematikai elemzés alapjai. - Moszkva: Mir, 1976.
V. A. Zorich. Matematikai elemzés. 1. rész - 10. kiadás, javítva. – Moszkva: MTsNMO, 2019.

Linkek

Dirichlet-függvény – a MathWorld-ből

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz