Parabolikus hengerfüggvények

A parabolikus hengerfüggvények ( Weber-függvények ) a speciális függvények általános elnevezése , amelyek differenciálegyenletek megoldásai, amelyeket a matematikai fizika egyenleteinek változóinak elválasztási módszerével kapnak , mint például a Laplace -egyenlet , a Poisson -egyenlet , a Helmholtz-egyenlet stb . parabola henger koordinátarendszer .

Általános esetben egy parabola henger függvényei a következő egyenlet megoldásai

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

Ha ebben az egyenletben lineáris változót változtatunk, a következő egyenletet kapjuk:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

amelyek megoldásait Weber - függvényeknek nevezzük és jelöljük $D_{\nu }(z).$

A függvények a Weber-egyenlet megoldásai, és nem egész szám esetén a függvények lineárisan függetlenek. Ugyanis az összes függvény lineárisan független. $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

A gyakorlatban gyakran használnak más parabola hengerfüggvényeket - Hermite függvényeket , amelyek a Hermite egyenlet megoldásai , amelyet a helyettesítésből kapunk. $(egy)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

A Hermite-függvényeket az egyenlet általános megoldásával jelöljük $H_{\nu }(z).$ $(2):$

y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2));{\frac {1}{ 2}};z^{2}\jobbra),

ahol egy degenerált hipergeometrikus függvény . $\Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)$

Egy nem negatív egész szám esetén a Hermite függvény egybeesik a Hermite polinommal . Negatív egész szám esetén a Hermite függvényt zárt formában fejezzük ki a hibafüggvényben . $\nu$ $\nu$

Ismétlődő relációk és differenciálási képletek

Ismétlődő kapcsolatok

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\jobb)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu }(z)

Differenciálási képletek

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{{\nu -1} }(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}}(z)

Integrális reprezentációk

Aszimptotikus viselkedés

Az eredetben

A végtelenben

Irodalom

Whittaker, Watson. A Modern Analysis Tanfolyama, 1963, 2. kötet
Bateman, Erdeyi Magasabb transzcendentális funkciók, 2. kötet

HF Weber , "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+k^{2 }u=0

Linkek

Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, szerk., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , 1972, Dover: New York. 19. fejezet .
Weisstein, Eric W. Parabolikus hengerfüggvény. A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból.
Weisstein, Eric W. Parabolikus henger-differenciálegyenlet. A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból.