Alapvető terület

Adott egy topológiai teret és egy akciócsoportot rajta, egyetlen pont képei a cselekvéscsoport működése alatt cselekvési pályákat alkotnak . Az alapterület a tér azon részhalmaza, amely minden pályáról pontosan egy pontot tartalmaz. Geometriai megvalósítást ad a pályaképviselők absztrakt halmazának.

Az alapvető régió kiválasztásának számos módja van. Általában megkövetelik, hogy az alaptartomány egy összefüggő részhalmaz legyen, a határok bizonyos korlátozásaival, például sima vagy poliéderes. A kiválasztott alapterület képei a csoport működése alatt mozaikot alkotnak a térben. Az alapvető régiók egyik fő konstrukciója a Voronoi-diagramokon alapul .

Javaslatok egy általános meghatározáshoz

Adott egy G csoport akciója az X topológiai téren a homeomorfizmusok segítségével , az ilyen műveletek alapvető tartománya a D pálya képviselőinek halmaza. Általában megkövetelik, hogy ez a halmaz topológiailag egyszerű legyen, és több konkrét mód valamelyikével definiálható. A szokásos feltétel az, hogy D csaknem nyitott halmaz abban az értelemben, hogy D -nek egy G - beli nyitott halmaz szimmetrikus különbsége kell legyen egy nulla mértékû halmazzal valamilyen (kvázi)invariáns mértékre X -en . Az alapvető tartomány mindig tartalmaz egy szabad reguláris halmazt U , egy nyílt halmazt , amely G hatására szétválasztott másolatokba mozog, és majdnem úgy, mint D , pályákat reprezentál. Gyakran megkövetelik, hogy D egy teljes kosethalmaz legyen néhány ismétléssel, de az ismétlési rész nulla mértékû. Ez általános helyzet az ergodikus elméletekben . Ha az alapvető tartományt használjuk az integrál kiértékelésére X / G - n , akkor a nulla mérték halmaza nem játszik szerepet.

Például, ha X egy n - dimenziós R n euklideszi tér , és G egy rács Z n , amely párhuzamos transzlációként hat rá, akkor az X / G hányadostere egy n - dimenziós tórusz lesz . Alaptartománynak tekinthetjük D [0,1) n tartományt , amely nulla mértékkel különbözik a (0,1) n nyílt halmaztól, vagy a zárt egységkockát [0,1] n , amelynek határa : pontok, amelyek pályáinak D -ben egynél több képviselője van .

Példák

Példák az R 3 háromdimenziós euklideszi térben .

Abban az esetben, ha a párhuzamos szállítást más típusú szimmetriákkal kombináljuk, az alapterület az egységcella része lesz. Például a síkbeli szimmetriacsoportok esetében az alapterület 1, 2, 3, 4, 6, 8 vagy 12-szer kisebb, mint a primitív cella.

A moduláris csoport alapvető tartománya

A jobb oldali diagram a Γ moduláris csoport működésének alapvető tartományának egy részét mutatja a H felső félsíkon (itt a felső félsíkon a komplex sík pozitív része. együttható az i -nél ).

Ez a híres diagram minden klasszikus, moduláris függvényekkel foglalkozó könyvben megtalálható . (Talán jól ismerte Gauss , aki alapvető tartományokkal foglalkozott a másodfokú formák redukciójának tanulmányozása során.) Itt minden háromszög tartomány (kék vonallal határolva) egy szabad reguláris tartomány a Γ H -n végrehajtott cselekvéseinek . A határok (kék vonalak) nem részei a szabad szabályos halmazoknak. A H /Γ alaptartomány megalkotásához el kell dönteni, hogyan rendeljünk pontokat a határokon, és ügyeljünk arra, hogy ezeket a pontokat ne vegyük be kétszer. Tehát ennek a példának az ingyenes normál halmaza

Az alapterület a bal oldali szegély hozzáadásával, plusz egy fél ív alulról jön létre, beleértve a felezőpontot is:

A felvenni kívánt pontok kiválasztása szerzőnként eltérő.

Az alapvető tartomány meghatározásának fő nehézsége nem közvetlenül a halmaz definíciójában rejlik, hanem inkább abban, hogyan kell dolgozni az alapvető tartomány feletti integrálokkal, amikor az integrandusoknak a tartomány határán pólusok és nullák vannak.

Lásd még

Linkek