Leibniz formula (termék származéka)

A két függvény szorzatának -edik deriváltjának Leibniz-formula a két függvény szorzatának (és arányának) differenciálására vonatkozó szabály általánosítása a -szeres differenciálás esetére. $n$ $n$

Legyenek tehát a és a függvények szor differenciálható függvények $F z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

ahol a binomiális együtthatók .

C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Példák

Amikor megkapjuk a termék származékának jól ismert szabályát: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

Ebben az esetben például a következőkkel rendelkezünk: $n=2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

Ebben az esetben például a következőkkel rendelkezünk: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

Ebben az esetben például a következőkkel rendelkezünk: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Bizonyítás és általánosítás

A képlet bizonyítása indukcióval történik a szorzatszabály segítségével . Többindexes jelölésben a képlet általánosabb formában is felírható:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\partial ^{{\beta }}g).

Ez a képlet felhasználható a differenciális operátorok összetételének kifejezésére. Valóban, legyen P és Q differenciális operátorok (kellő számú együtthatóval) és . Ha R egyben differenciáloperátor is, akkor az egyenlőség teljesül: $R=P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

A közvetlen számítás eredménye:

R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Ezt a képletet Leibniz-képletnek is nevezik .

Irodalom

Shipachev V.S. A felsőbb matematika alapjai: Tankönyv középiskolák számára / Szerk. akad. A. N. Tikhonova. - M . : Felsőiskola, 1989 . — 479 p. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Matematikai elemzés. 1. rész - 2-e. - M. : FAZIS, 1997 . — 554 p. — ISBN 5-7036-0031-6 .