Wallis formula

A Wallis-formula ( a Wallis-szorzat is ) egy olyan képlet, amely egy számot $\pi$ a racionális törtek végtelen szorzataként fejez ki:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\jobb )\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\ \end{igazított}}

Történelem

1655- ben John Wallis egy képletet javasolt egy szám meghatározására : $\pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis odajött hozzá, kiszámolta egy kör területét. Történelmileg Wallis képlete a végtelen termékek egyik első példája volt.

Bizonyítás

A végtelen Euler-szorzatot használja a szinuszfüggvényhez: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\jobbra).

Akkor hagyd $x=\pi /2$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\jobbra) ,

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \lpontok \end{igazított}}

Alkalmazás

Ez a termék rendkívül lassan konvergál, így a Wallis-képlet kevéssé használható a szám gyakorlati kiszámításához. Azonban hasznos lehet különféle elméleti tanulmányokban, például a Stirling-képlet levezetésében . Ha azonban kicsit javítjuk a képlet végét: $\pi$

\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ jobb]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\jobbra],

akkor a konvergencia üteme körülbelül öt nagyságrenddel nő.

Jegyzetek

↑ Wallis Formula . mathworld.wolfram.com . Letöltve: 2012. március 13. Az eredetiből archiválva : 2020. október 10. (határozatlan)

Wallis formula

Történelem

Bizonyítás

Alkalmazás

Jegyzetek

Linkek