Fiduciális következtetés

A fiduciális következtetést (a latin fides szóból: hit, bizalom) egyfajta statisztikai következtetésként Sir R. E. Fisher javasolta először .

A fiduciális következtetés úgy értelmezhető, mint egy kísérlet az inverz valószínűség kiszámítására az előzetes valószínűségi eloszlás előhívása nélkül [1] . Az intervallumértékelés során a "kiindulási intervallumokat" néha összehasonlítják a standard megközelítésekkel:

konfidencia intervallumok a paraméter becsléséhez (a becslés valószínűségi eloszlásához )
hiteles Bayes-intervallum ( en:Credible intervallum ) ( annak utólagos valószínűségére , hogy az intervallum valódi értéket tartalmaz).

A bizalmi következtetés gyorsan vitákat váltott ki, és soha nem fogadták el széles körben. Hamarosan ellenpéldák is megjelentek Fischer kijelentéseire. Kétségekhez vezettek a „hiteles következtetés” mint statisztikai következtetési rendszer vagy induktív logika konzisztenciájával kapcsolatban . Más tanulmányok kimutatták, hogy azokban az esetekben, amikor a fiduciális következtetés „fiduciális valószínűséghez” vezet, ebből a valószínűségből hiányzik az additív tulajdonság, és így nem valószínűségi mérték .

Háttér

Egyes tanulók ijesztőnek találhatják a γ -val fedett konfidenciaintervallum fogalmát . . Az értelmezés valóban meglehetősen zavarosnak tűnik: az azonos módszerrel kiszámított konfidenciaintervallumok közül a γ arány tartalmazza majd az általunk becsült valódi értéket (és így az 1 − γ arány nem fogja tartalmazni). Ez az ismétlődő mintavétel (vagy frekvenciamintavétel ) értelmezése, de nem alkalmazható kizárólagosan a frekvencia valószínűségére . Ellenkező esetben a szóban forgó valószínűség nem annak a valószínűsége, hogy a valódi érték a kiszámított rögzített intervallumba esik.

A Bayes-féle következtetés lehetővé teszi egy ismeretlen paraméter megbízható Bayes-intervallumának meghatározását , adott valószínűséggel, hogy a valódi érték ebbe az intervallumba esik. De használja az ellentmondásos feltételezést egy ismeretlen paraméter valószínűségi eloszlásának lehetőségéről még a megfigyelések megkezdése előtt (ún. előzetes valószínűségi eloszlás ). A fiduciális módszert javasolták ennek a hiányosságnak a kiküszöbölésére és új értelmezésre. A fiduciális valószínűség annak mértéke, hogy mennyire bízhatunk meg egy ismeretlen paraméter adott értékében.

Fisher nem adott általános definíciót a fiduciális módszerre, és tagadta egyetemességét. Csak egy paraméter esetére adott példákat. Később számos paraméter esetére különféle általánosításokat konstruáltak. A fiduciális következtetés viszonylag teljes leírását Quenouille (1958) adta. A fiduciális következtetés újabb tárgyalását lásd Kendall és Stuart (1973) [2] .

Fiduciális allokáció

Fisher elegendő statisztika meglétét követeli meg a fiduciális módszer alkalmazásához. Tegyük fel például, hogy a független megfigyelések egyenletesen oszlanak el az intervallumon belül . Ekkor a megfigyelések közötti maximum ( ) elegendő statisztika ehhez . Valójában a statisztika feltételes eloszlása nem függ az értékétől : ha az összes adatot elfelejtjük, kivéve , akkor ez egyenértékű lesz azzal, ha tudjuk, hogy az adatok tartalmaznak bármilyen értéket az intervallumból - azaz az összes elérhető információt tartalmazzák. -ról szóló adatokból . A megfelelő statisztika másik példája a normális eloszlás átlagának mintaátlaga . $n$ $[0,\omega ]$ $n$ $x$ $\omega$ $x$ $\omega$ $x$ $[0,X]$ $x$ $\omega$

Ha adott , vegye , akkor $\alpha$ $a=(1-\alpha )^{\frac {1}{n))$

P\left(a<{\frac {X}{\omega }}\right)=1-a^{n}=\alpha

óta .

P(X\leq x)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}

Fisher azzal érvel, hogy megfordíthatjuk az utolsó állítást, és azt mondhatjuk:

P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha

ahol most egy valószínűségi változóként értendő , és rögzített. Az ilyen eloszlás egy fiduciális eloszlás , és felhasználható fiduciális intervallumok kialakítására. $\omega$ $x$ $\omega$

Az eredmény megegyezik az en:pivotal módszer konfidenciaintervallumával , de az értelmezése más. Valójában a régebbi könyvek felcserélhetően használják a konfidencia intervallum és a fiduciális intervallum kifejezéseket . Vegye figyelembe, hogy a fiduciális eloszlást akkor határozzák meg egyértelműen, ha elegendő statisztika áll rendelkezésre.

A Pivotal módszer egy olyan valószínűségi változón alapul, amely a megfigyelések és a paraméterek függvénye is, de eloszlása nem függ a paramétertől. Ekkor egy valószínűségi állítás tehető az adatokról úgy, hogy az ne függjön a paraméterektől. Megfordítható a paraméterek megoldásával a fent bemutatott módon. Ez azonban csak akkor ekvivalens a fiduciális módszerrel, ha a pivotális értéket elegendő statisztikai adatok alapján egyedileg határozzák meg.

Egy megbízhatósági intervallumot egyszerűen egy konfidenciaintervallum másik neveként definiálhatunk, és megadhatunk neki egy fiduciális értelmezést. De ez a meghatározás nem lesz egyértelmű. Fisher cáfolta ennek az értelmezésnek a helyességét: a fiduciális eloszlást egyedileg kell meghatározni, és a mintából származó összes információt fel kell használnia.

Megközelítési állapot

Miután Fischer megfogalmazta a megközelítést, a fiduciális következtetés gyorsan vitákat váltott ki. , és soha nem fogadták el széles körben. Fischer elképzeléseivel szemben gyorsan megjelentek ellenpéldák.

Fisher elismerte, hogy a "fiduciális következtetésnek" vannak problémái. Azt írta George A. Barnardnak , hogy "nem világos" a fiduciális következtetés egyik problémájával kapcsolatban. [3] Barnardnak írt levelében Fischer kifogásolja, hogy elméletének csak "az érthetőséghez való aszimptotikus közelítése" van. [3] Fischer később bevallotta: „Még mindig nem értem, mi az a fiduciális valószínűség. Sokáig együtt kell élnünk vele, mielőtt megtudjuk, mennyire hasznos számunkra. De nem szabad figyelmen kívül hagyni csak azért, mert nincs egyértelmű értelmezésünk." [3]

Lindley megmutatta , hogy a fiduciális valószínűségből hiányzik az additív, ezért nem valószínűségi mérték . Cox rámutatott [4] , hogy ugyanezek az érvek érvényesek a konfidenciaintervallumokhoz kapcsolódó úgynevezett „konfidenciaeloszlásra” , így az ebből levont következtetések vitathatók. Fisher az eredmények "bizonyítékait" fiduciális valószínűség segítségével vázolta fel. Ha Fisher fiduciális érveiből levont következtetések nem tévesek, a Bayes-féle következtetésből sok minden kiderült. Fisher fiduciális érveinek sok valódi implikációja a Bayes-féle következtetésből is levezethető. [2]

1978-ban Pederson azt írta, hogy "a bizalmi érvelés nagyon korlátozott sikert aratott, és mára gyakorlatilag halott". [5] Davison [6] ezt írta: "A fiducializmus feltámasztására a közelmúltban több kísérlet is történt, de most úgy tűnik, hogy nagyobb történelmi értéke van, különösen korlátozott hatókörét tekintve, ha az aktuális érdeklődésre számot tartó modellek mellé állítják." A fiduciális következtetést azonban Hannig két közelmúltbeli tanulmánya vizsgálja. [7] [8]

Jegyzetek

↑ Quenouille (1958), 6. fejezet
↑ 1 2 Kendall, MG, Stuart, A. (1973) The Advanced Theory of Statistics, 2. kötet: Inference and Relationship, 3. kiadás , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (21. fejezet)
↑ 1 2 3 Zabell, S. L. . R. A. Fisher és a Fiduciális Argument , 369–387. Archiválva az eredetiből 2017. február 19-én. Letöltve: 2017. október 3. (381. oldal)
↑ Cox (2006) 66. o
↑ Pederson, JG (1978), Fiducial Inference, International Statistical Review T. 46 (2): 147–170, MR : 0514060 .
↑ Davison, AC (2001) " Biometrika Centenary: Theory and general methodology" Biometrika 2001 (DM Titterton és David R. Cox által szerkesztett publikáció 12. oldala )
↑ Hannig, J. (2009) "Általános fiduciális következtetés a wavelet regresszióhoz" Biometrika , 96(4), 847-860.
↑ Hannig, J. (2009) "Az általánosított fiduciális következtetésről", Statistica Sinica , 19, 491-544

Irodalom

Cox, D. R. (2006). A statisztikai következtetés alapelvei , CUP. ISBN 0-521-68567-2 .
Fisher, R A. Statisztikai módszerek és tudományos következtetések . – New York: Hafner, 1956.
Fisher, Ronald "Statisztikai módszerek és tudományos indukció" J. Roy. stat. szoc. Ser. B. 17 (1955), 69-78. ( Jerzy Neyman és Abraham Wald statisztikai elméleteinek kritikája fiduciális szemszögből)
Neyman, Jerzy . Jegyzet Sir Ronald Fisher cikkéhez, 288–294. (válasz Fisher 1955-re, amely a "hiteles következtetés" tévedését diagnosztizálja)
R. A. Fisher hozzájárulása a matematikai statisztikákhoz (angolul) / Tukey, J W., szerk. - New York: Wiley, 1950.
Quenouille, MH (1958) : A statisztikai érvelés alapjai . Griffin, London
Young, GA, Smith, RL (2005) Essentials of Statistical Inference , CUP. ISBN 0-521-83971-8

Linkek

fiduciális következtetés; felülvizsgálat. D.Solome szakdolgozatának 4. fejezete, 1998.