Rendelt gyűrűt

A rendezett gyűrű az általános algebrában egy gyűrű (általában kommutatív ), amelynek minden elemére lineáris sorrend van definiálva , összhangban a gyűrű műveleteivel. A gyakorlatban a legfontosabb példák az egész számok gyűrűje és az egész számok többszöröseinek gyűrűi . $R$ $\mathbb {Z}$

Definíció

Legyen egy gyűrű, amelynek elemei lineáris sorrendűek , azaz reláció ( kisebb vagy egyenlő ) a következő tulajdonságokkal [1] . $R$ $\leqslant$

Reflexivitás : . $x \leqslant x$
Tranzitivitás : ha és , akkor . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antiszimmetria : ha és , akkor . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearitás: minden elem összehasonlítható egymással, vagyis vagy , vagy . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Ezenkívül megköveteljük, hogy a sorrend összhangban legyen a gyűrű összeadási és szorzási műveleteivel:

Ha , akkor bármely z esetén : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Ha és , akkor . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Ha mind a 6 axióma teljesül, akkor a gyűrűt rendezettnek nevezzük [2] . $R$

Példák megrendelt gyűrűkre

Egész számok gyűrűje $\mathbb{Z}.$
A páros számok gyűrűje és általában minden olyan számgyűrű, amely egy adott nem nullától eltérő valós szám többszöröse (nem feltétlenül egész). $k$
Bármely rendezett mező – például a racionális és a valós számok mezői ) is rendezett gyűrűk.
Példa nulla osztójú rendezett gyűrűre : ha az egész számok additív csoportjában minden szorzatot nullával egyenlőnek teszünk, akkor olyan rendezett gyűrűt kapunk, amelyben bármely elem nullosztó (az egység ekkor nem semleges elem szorzáshoz, így egység nélküli gyűrűt kapunk) [3 ] [4] .

Kapcsolódó definíciók

A jelölés megkönnyítése érdekében további másodlagos kapcsolatokat vezetünk be:

A : -nél nagyobb vagy egyenlő arány azt jelenti, hogy .

x\geqslant y

y\leqslant x

A : -nél nagyobb arány azt jelenti, hogy és .

x>y

x\geqslant y

x\ney

A : -nél kisebb arány azt jelenti, hogy .

x<y

y>x

A 4 összefüggés bármelyikével rendelkező képletet egyenlőtlenségnek nevezzük .

A nullánál nagyobb elemeket pozitívnak , a nullánál kisebbeket negatívnak nevezzük . Egy rendezett gyűrű pozitív elemeinek halmazát gyakran jelölik $R$ $R_{+}.$

A diszkrét rendezett gyűrű olyan rendezett gyűrű, amelynek nincs 0 és 1 közötti eleme. Az egész számok diszkrét rendezett gyűrű, míg a racionális számok nem.

Alaptulajdonságok

Mindegyik rendelkezik a következő tulajdonságokkal. $x,y,z\in R$

Egy rendezett gyűrű minden eleme a három kategória egyikébe tartozik: pozitív, negatív, nulla. Ha pozitív, akkor negatív, és fordítva. $x$ $-x$
Hasonló egyenlőtlenségek is hozzáadhatók:

Ha és , akkor .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Az egyenlőtlenségek szorozhatók nem negatív elemekkel:

Ha és , akkor .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

Egy rendezett gyűrűnek akkor és csak akkor nincs nulla osztója , ha a pozitív elemek szorzata pozitív.
Előjelszabály: az azonos előjelű nem nulla elemek szorzata nem negatív (ha nincs nulla osztó a gyűrűben, akkor pozitív), és a pozitív elem szorzata egy negatív elemmel nem pozitív (ha nincs nulla osztó, akkor negatív),
- Következmény 1: rendezett gyűrűben a nem nulla elem négyzete mindig nem negatív (és ha nincs nulla osztó, akkor pozitív) [5] .
- Következmény 2: mindig egy rendezett gyűrűben 1-gyel (mert az 1 önmaga négyzete) [4] . $1>0$
Az a rendezett gyűrű, amely nem triviális (vagyis a nullánál többet tartalmaz), végtelen.
Bármely rendezett gyűrű egységnyi nulla osztó nélkül egy és csak egy részgyűrűt tartalmaz, amely izomorf az egész számok gyűrűjével [6] . $\mathbb {Z}$

Példák olyan gyűrűkre és mezőkre, amelyek nem teszik lehetővé a rendelést

A komplex számok nem alkotnak rendezett gyűrűt, mert a rendezett gyűrűben, ahogy fentebb is mondtuk, egy elem négyzete mindig nem negatív, és abba a képzeletbeli egység nem léphet be.
Mezők vége .
p-adikus számok .

Abszolút érték

Határozza meg az elem abszolút értékét ! $x:$

|x|=\max(x,-x)

Itt a függvény a legnagyobb értéket választja ki. A következő tulajdonságokkal rendelkezik (az összes gyűrűre) [7] . $\max$ $x,y$

$|x|=0$ akkor és csak akkor . $x=0$
Minden nem nulla és csak nekik . $x$ $|x|>0$
Az ellentétes számok abszolút értéke megegyezik: $|x|=|{-x}|$
Háromszög egyenlőtlenség : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplicativitás: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ egyenlő azzal $-y\leqslant x\leqslant y$

Változatok és általánosítások

A rendezett gyűrűk elmélete kiterjed a nem kommutatív (vagy akár nem asszociatív) gyűrűk speciális eseteire is. További variációkat vizsgálnak:

A gyűrű nem lineáris, hanem csak részben rendezett , azaz nem minden elem összehasonlítható adott sorrendet használva [8] .
A gyűrű helyett félgyűrű van , vagyis általában nincs benne kivonás [9] . Példa: nullával meghosszabbított természetes sorozat .

Jegyzetek

↑ Lam, TY (1983), Rendelések, értékelések és másodfokú formák , 1. kötet. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , p. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebrai szerkezetek. Lineáris algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 p.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , p. 272.
↑ Nechaev, 1975 , p. 90.
↑ Nechaev, 1975 , p. 100.
↑ Nechaev, 1975 , p. 91.
↑ Részben megrendelt gyűrű . Letöltve: 2019. január 27. Az eredetiből archiválva : 2019. január 27. (határozatlan)
↑ Nechaev, 1975 , p. 88-89.

Irodalom

Bourbaki N. Algebra. Polinomok és mezők. Rendezett csoportok. - M . : Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 p.
Nechaev V. I. 6.4. Lineárisan rendezett gyűrűk és testek // Numerikus rendszerek. - M . : Nevelés, 1975. - S. 90-94. — 199 p.

Linkek

Rendelt gyűrű a PlanetMath honlapján .