Tetraéderek csomagolása

A tetraéderek csomagolása az  a feladat, hogy egyforma szabályos tetraédereket helyezzünk el háromdimenziós térben úgy, hogy a teret a lehető legtöbbet kitöltsék.

Jelenleg a szabályos tetraéderek optimális tömörítéséhez kapott legjobb tömítési sűrűségi határ 85,63% [1] . A tetraéderek nem csempézik a teret [2] , és mint ismeretes, a kitöltés felső határa 100% alatt van (nevezetesen 1 − (2.6…)·10 −25 ) [3] .

Történelmi eredmények

Arisztotelész amellett érvelt, hogy a tetraédereknek teljesen ki kell tölteniük a teret [4] .

2006-ban Conway és Torquato kimutatta, hogy körülbelül 72%-os tömörítési sűrűség érhető el, ha olyan tetraéderrácsot készítenek, amely nem Bravais-rács (több különböző tájolású részből áll), és kimutatta, hogy a tetraéderek legjobb tömörítése nem lehet rácsos tömörítés (ismétlődő blokkonként egy elemmel, és ha minden elem azonos orientációjú) [5] . Ezek a konstrukciók csaknem megduplázzák a Bravais-rácson alapuló optimális tömörítési sűrűséget, amelyet Hoylman kapott, és amelynek sűrűsége 36,73% [6] . 2007-ben és 2010-ben Chaikin és munkatársai kimutatták, hogy a tetraéderszerű testek véletlenszerűen becsomagolhatók egy véges tartályba, amelynek a csomagolási sűrűsége 75% és 76% közötti [7] . 2008-ban Chen volt az első, aki olyan szabályos tetraédereket javasolt, amelyek sűrűbbek, mint a gömbök, nevezetesen 77,86%-ban [8] [9] . Torquato és Jiao 2009-ben továbbfejlesztette Chen tervét egy számítógépes algoritmussal, és 78,2021%-os csomagolási hányadot kapott [10] .

2009 közepén Hadji-Akbari és munkatársai a Monte Carlo-módszerrel kimutatták egy kezdetben véletlenszerű rendszerre, amelynek tömítési sűrűsége >50%, hogy a szilárd tetraéderek egyensúlyi áramlása spontán módon átalakul kétszögletű kvázikristálygá , amely összenyomható. 83,24%. Leírták a véletlenszerű csomagolást is 78%-ot meghaladó sűrűséggel. A 82 tetraéder cellájú kvázikristályokkal végzett periodikus közelítés során 85,03%-os tömörülési sűrűséget kaptak [11] .

2009 végén Kallus, Elzer és Gravel egy új, egyszerűbb, 85,47%-os sűrűségű csomagcsaládot fedezett fel [12] . Ezen csomagok alapján, némileg javítva azokat, a Torquato és a Jiao is 85,55%-os sűrűséget ért el 2009 végén [13] . 2010 elején Chen, Engel és Glotzer 85,63%-os sűrűséget ért el [1] , és most ez az eredmény a szabályos tetraéderek legsűrűbb tömbje.

Kapcsolat más csomagolási problémákkal

Mivel a tetraéderek tömörülési sűrűségének korai ismert határai kisebbek voltak, mint a golyók tömörülési sűrűsége , a szabályos tetraéder ellenpéldája lehet Ulam sejtésének , miszerint az azonos golyók optimális tömörülési sűrűsége kisebb, mint bármely más test csomagolási sűrűsége. Az újabb tanulmányok kimutatták, hogy ez nem így van.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Chen, Engel, Glotzer, 2010 , p. 253–280.
  2. ↑ Struik, 1925 , p. 121–134.
  3. ↑ Gravel, Elser, Kallus, 2010 , p. 799–818.
  4. ↑ Polster, Ross, 2011 .
  5. ↑ Conway, 2006 , p. 10612–10617.
  6. ↑ Hoylman, 1970 , p. 135–138.
  7. ↑ Jaoshvili, Esakia, Porrati, Chaikin, 2010 , p. 185501.
  8. ↑ Chen, 2008 , p. 214–240.
  9. ↑ Cohn, 2009 , p. 801–802.
  10. ↑ Torquato, Jiao, 2009 , p. 876–879.
  11. ↑ Haji-Akbari, Engel, Keys, Zheng et al., 2009 , p. 773–777.
  12. ↑ Kallus, Elser, Gravel, 2010 , p. 245–252.
  13. ↑ Torquato, Jiao, 2009 .

Irodalom

Linkek

 Csomagolási feladatok
Csomagolási körök
Léggömb csomagolás
Egyéb csomagok
Kirakós játék