Trilateráció

A trilateráció ( lat. trilaterus - tripartite) a geodéziai pontok helyzetének meghatározására szolgáló módszer a talajon szomszédos háromszögek rendszerének felépítésével, amelyben megmérik az oldaluk hosszát [1] . Ez az egyik módszer a koordináták meghatározására a talajon a háromszögelés (amelyben a megfelelő háromszögek szögeit mérik) és a poligonometria (a szögeket és a távolságokat egyaránt méri) mellett. A trilateráció egy lineáris bevágáson alapul .

Matematikai levezetés

1. lehetőség

A geometriában a háromdimenziós trilaterációs feladat három gömb metszéspontjának koordinátáinak megtalálása , amelyeket egyenletrendszer megoldásával határozunk meg . A számítások egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy mindhárom gömb középpontja a síkban van , az egyik egybeesik a koordináták origójával , a második a tengelyen fekszik . A kiszabott megszorítások nem csökkentik az általánosságot: bármely megfelelő egyenletrendszer erre a formára redukálható egy másik koordinátarendszerre való átlépéssel . Ahhoz, hogy az eredeti koordinátarendszerben megoldást találjunk, az ebben a (redukált) koordinátarendszerben talált megoldást olyan transzformációknak vetjük alá, amelyek inverzek azokkal, amelyek lehetővé tették az eredeti három pont halmazának a kényszerekkel való összhangba hozását. $z=0$ $x$

Kezdjük a három szféra egyenleteivel:

{\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ vége{esetek}}

Meg kell találni egy pontot , amely kielégíti mindhárom egyenletet. $(x,y,z)$

Először vonja ki a második egyenletet az elsőből, és keresse meg : $x$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Úgy tekintjük, hogy az első két gömb több pontban metszi egymást, azaz . Ebben az esetben a kifejezést az első gömb egyenletébe behelyettesítve a köregyenletet kapjuk , amely az első két gömb kívánt metszéspontja: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $x$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

A harmadik gömb egyenletébe behelyettesítjük a : -t és megtaláljuk : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

A koordináták ismeretében könnyen megtalálhatja a koordinátát : $x$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Most megvan mindhárom koordináta. Mivel pozitív vagy negatív négyzetgyökként van kifejezve, egy adott feladatnak lehet nulla, egy vagy két megoldása. $z$

Ezt úgy ábrázolhatjuk, hogy vesszük az első két gömb metszéspontjából kapott kört, és megtaláljuk a metszéspontját a harmadik gömbbel. Ha ez a kör a harmadik gömbön kívül esik, akkor a koordináta egyenlő egy negatív szám gyökével, ami azt jelenti, hogy nincs valódi megoldás. Ha a kör pontosan egy pontban érinti a gömböt, akkor az egyenlő nullával. Ha a kör két pontban metszi a gömböt, akkor egy pozitív szám pozitív vagy negatív gyökével egyenlő. $z$ $z$ $z$

2. lehetőség: nincs koordináta transzformáció

Kihasználva azt a tényt, hogy minden gömbpár egy olyan kör mentén metszi egymást, amelynek középpontja a gömbök középpontjait összekötő egyenesen fekszik, és azt a tényt, hogy ez a kör erre az egyenesre merőleges síkban fekszik, a feladatot egy lineárison keresztül tudjuk megoldani. egyenletrendszer .

Legyen az eredeti gömbök középpontja, legyen a gömbök középpontjai közötti távolság, és legyen a kívánt pont. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3 },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Find - az első két gömb metszéspontja. $O_{{12}}(x_{1}+\alpha (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alpha (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Vonjuk ki a második egyenletet az elsőből:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Alakítsuk át:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

A kívánt pont egy olyan síkban van, amely áthalad és merőleges rá . Ezért ennek a síknak az egyenlete teljesül rá: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1})=0

, vagy más módon:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})

Csere után a következőket kapjuk: $\alpha$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

Hasonlóképpen,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

A két kapott sík metszéspontja a háromszög síkjára merőleges egyenest ad. Ennek az egyenesnek a háromszög síkjával való metszéspontja ad egy pontot - a háromszög síkjának pontjától a merőleges alapját . A rendszert a háromszög síkjának egyenletével kiegészítve egy lineáris egyenletrendszert kapunk a pont koordinátáira . $O$ $x$ $O$

Háromszög sík egyenlet:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

ahol:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

a vektorszorzat és .

\overline {O_{1}O_{2}}

\overline {O_{1}O_{3}}

A kívánt pont koordinátáin lévő együtthatók egy 3x3-as mátrixot alkotnak. Ha az eredeti gömbök középpontjai nem egy egyenes vonalon helyezkednek el, akkor ez a mátrix nem degenerált , és a kívánt koordinátákat az inverz mátrix rendszer jobb oldalára történő alkalmazása után találjuk meg . Jelölje a pont talált koordinátáit . Akkor: $O$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}

Hátrányok

Első

Maguk a távolságmérések és trilaterációs hálózatépítések ellenőrzése túl gyenge, egyes konfigurációkban teljesen hiányzik, ami a precíz geodéziai konstrukcióknál elfogadhatatlan. Például a mért oldalakkal rendelkező 1. háromszögben a mérésvezérlés teljesen hiányzik, mivel egyetlen feltételes egyenlet sem merül fel, vagyis nincsenek redundáns mérések; egy geodéziai négyszögben és egy mért oldalú központi rendszerben csak egy feltételes egyenlet keletkezik, vagyis nincs elegendő számú redundáns mérés [2] .

Második

A szög- és lineáris mérések összehasonlítható pontossága mellett az azimutátvitel pontossága a trilaterációban lényegesen alacsonyabb, mint a háromszögelésben. A szabályozás Laplace Azimuthokon keresztül történik, amelyek lehetővé teszik a szögmérések független szabályozását és kiegyenlítését [2] [3] .

Harmadik

Technikai és gazdasági szempontból a trilaterációs módszer lényegesen rosszabb, mint a trianguláció. A módszer mind a terepmunkában, mind az irodai számításokban bonyolult [2] .

Jellemzők

Osztályok/rangsorok	Oldalhossz, km	Oldalhiba (A relatív hiba korlátozása az oldalhosszak meghatározásában)	Az origó közötti háromszögek száma	Minimális szög háromszögben, ív. fokozat	Minimális szög négyszögben, ív. fokozat
III osztály
IV osztály	1-5	1: 50 000	6	húsz	25
1 rang	0,5-6	1: 20 000	nyolc	húsz	25
2. kategória	0,25-3	1: 10 000	tíz	húsz	25

[négy]

Alkalmazás

A trilateráció használható a villámcsapások lokalizálására . A közös szinkronizált rendszeren működő detektorok a kisülést kísérő rádiósugárzás érkezési idejének különbségét használhatják az érzékelő és a kisülés közötti távolság meghatározására. Az ilyen rendszerek hasznosak lehetnek az erdőgazdálkodásban a tűzmegelőzés és a ciklonkövetés szempontjából .

Ez a módszer bizonyos esetekben alkalmazható III, IV osztályú geodéziai referenciahálózatok kialakításánál, hálózatok koncentrálásakor 1, 2 kategóriáig. Az I. és II. osztályú állami geodéziai hálózatok létrehozásakor a Szovjetunióban nem alkalmazták a trilaterációs módszert [5] [6] [2] .

A fény- és rádiós hatótávolságú berendezések, a műholdas navigációs rendszerek, valamint a számítástechnika és a távolságmérés fejlesztése, pontosságának javítása kapcsán a trilaterációs módszerek egyre fontosabbá válnak, különösen a mérnöki és geodéziai munka gyakorlatában [2]. .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Szergej Fedorovics Akhromeev, Hadtörténeti Intézet. Katonai enciklopédikus szótár. — Katonai. kiadó, 1986. - 863 p.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. AZ ÁLLAMI GEODÉZIAI HÁLÓZAT LÉTREHOZÁSÁNAK ALAPVETŐ MÓDSZEREI // Felsőgeodézia . - Moszkva: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 p. - 8600 példány. (Orosz)
↑ Igor Pandul. Geodéziai csillagászat mérnökgeodéziai problémák megoldására alkalmazva . — Liter, 2017-12-09. — 326 p. — ISBN 9785040943883 . Archiválva 2020. június 21-én a Wayback Machine -nél
↑ Mérnökgeodézia
↑ Trilateráció, módszere – mi ez? . Letöltve: 2020. január 4. Az eredetiből archiválva : 2020. június 19. (határozatlan)
↑ Alapvető módszerek az állapotgeodéziai hálózat létrehozásához . Letöltve: 2020. január 4. Az eredetiből archiválva : 2020. január 7.. (határozatlan)

Irodalom

Brinker, R.C. és Minnick, R. 12. Trilateráció // The Surveying Handbook . - Chapman és Hall, 1995. - 967 p. — ISBN 9780412985119 .