Trigonometrikus polinom

A trigonometrikus polinom egy valós argumentum függvénye , amely véges trigonometrikus összeg, azaz egy függvény, amelyet a következőképpen ábrázolunk:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ sin(kx))

hol van az argumentum és az együtthatók , és . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ $k=1,2,...,n$

Komplex formában az Euler-képlet szerint egy ilyen polinomot a következőképpen írunk:

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

ahol . $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2))$

Ez a funkció korlátlanul differenciálható és -periodikus-folyamatosan működik az egységlemezen. $2\pi$

A trigonometrikus polinomok a függvények közelítésének legfontosabb eszközei, amelyeket interpolációra és differenciálegyenletek megoldására használnak .

A Weierstrass-tétel szerint bármely körön folytonos függvényhez létezik olyan trigonometrikus polinomsorozat, amely egyenletesen konvergál hozzá.

A trigonometrikus polinom egy Fourier-sorozat részösszege . Fejer tétele szerint a Fourier-sor parciális összegeinek számtani átlagainak sorozata egyenletesen konvergál a lemezen folytonos függvényhez. Ez egy egyszerű konstruktív módszert biztosít trigonometrikus polinomok egyenletesen konvergens sorozatának megszerkesztésére.

Irodalom

Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : "Baglyok. enciklopédia" , 1988. - S. 847 .
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrikus Fourier-sorok és a közelítéselmélet elemei. - L . : Leningrád kiadó. un-ta, 1983. - S. 188.