Miquel pont

A Miquel-pont a négyszög egyik figyelemre méltó pontja .

Definíció

Legyen négy egyenes úgy elrendezve ( általános helyzetben ), hogy metszésükkor négy háromszög alakuljon ki. Ekkor az e háromszögek köré körülírt köröknek van egy közös pontjuk, amelyet ezen vonalkonfiguráció Miquel -pontjának nevezünk .

Megjegyzés

Azt az állítást, hogy ez a négy kör egy pontban metszi egymást, Michel-Steiner négyszögtételnek nevezzük [1] .

Tulajdonságok

A fenti négy háromszög körülírt köreinek középpontja (kék pontok az ábrán) ugyanazon (piros) körön fekszenek, amely áthalad a Miquel-ponton (a fenti ábrán zöld).
A négy adott , , és , egyenes által alkotott négyszög akkor és csak akkor van beírva, ha a Miquel-pont azon az egyenesen fekszik, amely a hat egyenesek metszéspontja közül kettőt összeköt (azokat, amelyek nem csúcsai a négyszögnek), azaz amikor azon fekszik . $ABCD$ $LENNI$ $BF$ $CE$ $AF$ $M$ $EF$

Történelem

Ezt az eredményt Jakob Steiner jelentette be [2] . A teljes bizonyítékot Miquel [1] adta .

Változatok és általánosítások

Miquel tétele ötszögre (ötágú csillagra)

Legyen adott egy konvex ötszög . Folytassuk mind az öt oldalát, amíg nem metszik egymást öt pontban , , , , (ötágú csillagot alkotva). Öt kört írunk le öt háromszög körül , , , és . Ezután a többi kölcsönös metszéspontjuk (kivéve , , , , ), mégpedig az új pontok: , , , és ugyanazon a körön fekszenek (ugyanahhoz a körhöz tartoznak) [3] (lásd ábra). Ennek fordítottját öt kör tételként ismerjük . $ABCDE$ $F$ $G$ $H$ $én$ $K$ $CFD-k$ $DGE$ $EHA$ $AIB$ $BKC$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $M$ $N$ $P$ $R$ $K$

Miquel hatkör tétele

Legyen négy pont , , és , adott egy körön , és négy kör metszi egymást páronként ezekben a pontokban, valamint négy másik pontban , , és . Ekkor az utolsó négy pont is egy közös körön fekszik. Ez a tétel „hat kör tétel” néven ismert [4] (lásd az ábrát). $A$ $B$ $C$ $D$ $W$ $x$ $Y$ $Z$

Ezt a tételt néha négy kör tételnek is nevezik, és Jakob Steinernek tulajdonítják, bár az egyetlen ismert publikált bizonyítékot Miquel adta [5] .

Wells ezt a tételt "Miquel-tételként" [6] nevezi .

Miquel tételének háromdimenziós analógja

Létezik egy háromdimenziós analóg is, amelyben a tetraéder pontjain áthaladó négy gömb és a tetraéder szélein lévő pontok egy közös pontban metszik egymást . Wells, amikor Miquelre hivatkozik, ezt a tételt Pivot-tételnek nevezi . [7] $M$

Lásd még

Pont Poncelet
Miquel tétele – Miquel tételének másik eredménye
Közvetlen Ober

Jegyzetek

↑ 1 2 Ostermann & Wanner (2012) , p. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Questions proosées. Théorème sur le quadrilatère Complet, Annales de math. T. 18: 302–304
↑ Középiskolai tanár a francia vidéken (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 szerint . - Ostermann & Wanner, 2012. - P. 94-97.
↑ Középiskolai tanár a francia vidéken (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 szerint . — Ostermann & Wanner, 2012. — 94. o.
↑ Középiskolai tanár a francia vidéken (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 szerint . — Ostermann & Wanner, 2012. — 352. o.
↑ Wells, David. A különös és érdekes geometria pingvin szótára . - New York: Penguin Books, 1991. - P. 151-152 .
↑ Wells, David. A különös és érdekes geometria pingvin szótára . - New York: Penguin Books, 1991. - 184. o .

Irodalom

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Új találkozások a geometriával . — M .: Nauka, 1978. — 224 p. - (A Matematikai Kör könyvtára sorozat 14. száma). - 148.000 példány.

Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson

Ostermann, Alexander és Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5. kiadás), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6