Jacobi identitás
A Jacobi-identitás egy lineáris téren végzett bilineáris művelet matematikai azonossága . Ennek a következő formája van:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Carl Gustav Jacobiról kapta a nevét .
A Jacobi-azonosság fogalmát általában a Lie algebrákkal társítják .
Példák
A következő műveletek felelnek meg a Jacobi identitásnak:
- Kezelői kapcsoló
- kommutátor a Lie algebrában
- A vektormezők zárójelei
- A függvények Poisson zárójelei szimplektikus sokaságon
- Vektorok keresztszorzata
A Lie algebrák jelentése
Ha a szorzás antikommutatív , akkor a Jacobi-azonosságot a Lie algebra adjunkt reprezentációjával némileg más formában is megadhatjuk :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
A Jacobi identitás beírása a formába
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
azt kapjuk, hogy ez egyenértékű a Leibniz-szabály teljesítésének feltételével az operátorra vonatkozóan :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Így ez egy levezetés a Lie algebrában. Minden ilyen levezetést intrinziknek nevezünk .
A Jacobi identitásnak is megadható a forma
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Ez azt jelenti, hogy az operátor egy adott Lie algebra homomorfizmusát definiálja levezetéseinek Lie algebrájává.
Osztályozott Jacobi identitás
Legyen egy fokozatos algebra , és legyen benne szorzás. Azt mondjuk, hogy a beszorzás kielégíti a fokozatos Jacobi-azonosságot , ha bármely elemre
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l} ]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Példák
- külső formák algebra ;
- differenciálformák levezetéseinek algebra ;
- érintőleges értékű formák algebrája FN - zárójelekkel vagy NR -zárójelekkel megadott szorzással ;