Katasztrófaelmélet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. július 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 18 szerkesztést igényelnek .

A katasztrófaelmélet a matematikának egy olyan ága , amely magában foglalja a differenciálegyenletek ( dinamikus rendszerek ) bifurkációinak elméletét és a sima leképezések szingularitásainak elméletét . A katasztrófaelmélet a modern matematika egyik ága, amely a stabilitás és a bifurkáció elméletének továbbfejlesztése.

A "katasztrófa" és a "katasztrófaelmélet" kifejezéseket Rene Thom és Christopher Zieman vezette be az 1960-as évek végén és az 1970-es évek elején (a "katasztrófa" ebben az összefüggésben egy tárgy éles minőségi változását jelenti, a paraméterek zökkenőmentes mennyiségi változásával. attól függ) [1] [2] .

A katasztrófaelmélet számos alkalmazást talált az alkalmazott matematika, fizika, valamint a közgazdaságtan és a politikatudomány különböző területein .

A műszaki egyetemeken a stabilitás elméletét tanulják, amely a katasztrófaelmélet alapja. A stabilitáselmélet módszereit az automatikus vezérlés elmélete, a dinamikus rendszerek modellezése, az elektrotechnika, a biológia és a kognitív tudományok használják.

Történelem

A katasztrófaelmélethez kapcsolódó dinamikus rendszerek területén az első alapvető eredmények Henri Poincare -nek ( normálformák módszere a differenciálegyenletek elméletében) és idősebb Alexander Andronovnak (dinamikus rendszerek bifurkációi) fűződnek. A sima leképezések szingularitáselméletének alapjait elsősorban Hassler Whitney amerikai topológus munkái fektették le az 1940-es és 1950-es években, amelyeket Morse lemmája előzött meg a függvény normál alakjáról egy nem degenerált kritikus pont szomszédságában.

Az 1960-as évek végén Rene Thom vállalta ennek az iránynak a fejlesztését . Whitney és Thom ötletei azonban népszerűvé váltak Zieman 1970-es években megjelent számos publikációjának köszönhetően, akik aktívan támogatták a katasztrófaelméletet, összehasonlítva annak jelentőségét a számítás feltalálásával, és a „matematika forradalmáról” beszéltek. A katasztrófaelmélet gyors fejlődése az 1970-es és 1990-es években Michael Boardman , Egbert Brieskorn , James JW Bruce , John Mather , Bernard .fr(Malgrange Bernard Malgrange ), Rene Thomas, Terry Wall , Christopher Ziman és különösen Vladimir tevékenységéhez kapcsolódik. Arnold és tanítványai ( Ilja Bogajevszkij , Alekszandr Varcsenko , Viktor Vasziljev , Alekszandr Giventál , Viktor Gorjunov , Szabir Huszein-Zade , Vlagyimir Zakaljukin , Makszim Kazarjan , Vjacseszlav Szedykh ).

Seven Elementary Disasters by Tom

A katasztrófaelmélet egy potenciálfüggvény kritikus pontjait (próbáit) elemzi, vagyis azokat a pontokat, ahol nemcsak a függvény első deriváltja egyenlő nullával, hanem a magasabb rendű deriváltjai is nullával egyenlők. Az ilyen pontok fejlődésének dinamikája a Taylor-sor potenciálfüggvényének a bemeneti paraméterek kis változtatásával történő bővítésével tanulmányozható. Ha a növekedési pontok nem csupán véletlenszerű mintázatot alkotnak, hanem egy strukturált stabilitási régiót is alkotnak, akkor ezek a pontok a fázistér környező területein alacsony katasztrófaszintű speciális geometriai struktúrák szervezőközpontjaiként léteznek. Ha a potenciálfüggvény három vagy kevesebb aktív változótól és öt vagy annál kevesebb aktív paramétertől függ, akkor ebben az esetben a leírt bifurkációs geometriáknak csak hét általánosított struktúrája van, amelyekhez a Taylor sorozatban szabványos kiterjesztési formákat rendelhetünk, amelyekbe a próbákat diffeomorfizmussal bővíthető (sima transzformáció, melynek megfordítása is sima). Ma ezt a hét alapvető katasztrófatípust René Thom által adott néven ismerjük.

Potenciális függvények egy aktív változóval

Fold katasztrófa

Az extrémum stabil és instabil részei redős bifurkáció esetén eltűnnek:

V = x^3 + ax

A paraméter negatív értékei esetén a potenciálfüggvénynek két szélsősége van - egy stabil (stabil egyensúly) és egy instabil (instabil egyensúly). Ha a paraméter lassan változik, a rendszer stabil minimumponton lehet. De ha , a stabil és instabil szélsőségek találkoznak és megsemmisülnek. Ez a bifurkációs pont. A számára nincs stabil megoldás. $a$ $a$ $a=0$ $a>0$

Ha a fizikai rendszer egy hajtás típusú bifurkációs ponton halad át, és ezért a paraméter nullán megy át, akkor a megoldás stabilitása elveszik, és a rendszer hirtelen átállhat egy új, az előzőtől nagyon eltérő állapotba. Ezt a bifurkációs paraméterértéket néha "rögzítési pontnak" is nevezik. $a$ $a<0$ $a$

Mintakód Pythonban

import idő import matplotlib.pyplot mint plt import matplotlib.animation animációként import numpy mint np a matplotlib import stílusból _ stílus . use ( 'ggplot' ) fig = plt . ábra () ax1 = ábra . add_subplot ( 1 , 1 , 1 ) értékek = [ - 6,0 , - 5,0 , - 4,0 , - 3,0 , - 2,0 , - 1,0 , 0,0 , 1,0 ] pont = [[ - 6 , - 3 , [ - 5 ] - 2,5 ], [ - 4 , - 2 ], [ - 3 , - 1,5 ], [ - 2 , - 1,0 ], [ - 1 , - 0,5 ], [ 0 , 0 ], [ 1 , 0,5 ], [ 2 ] , 1.0 ], [ 3 , 1.5 ], [ 4 , 2.0 ], [ 5 , 2.5 ], [ 6 , 3 ]] def calc_fold_data ( x , a ): x3 = np . hatvány ( x , 3 ) eredmény = x3 + ( a * x ) visszatérési eredmény def animált ( index ): if index == len ( értékek ): idő . alvás ( 3 ) kilépés ( ) érték = értékek [ index ] xar = [] yar = [] pontban ponthoz : x = számítási_fold_adat ( [ 0 ] pont, érték ) y = kalkulációs_fold_adat ( [ 1 ] pont , érték ) print ( " Y: { } X: {} " . formátum ( x , y )) xar . hozzáfűz ( x ) év . hozzáfűzni ( y ) ax1 . világos () plt . title ( "Érték: {} " . formátum ( érték )) plt . szórás ( 0 , 0 ) ax1 . telek ( xar , yar ) ani = animáció . FuncAnimation ( ábra , animáció , intervallum = 1000 ) plt . mutasd ()

Szerelési katasztrófa

$V = x^4 + ax^2 + bx$

Összeszerelési katasztrófadiagram csúcsponttal, amely görbéket (barna, piros) mutat az x változóhoz, amely kielégíti az ( a , b ) paraméterek kifejezését, a görbék a b paraméter folyamatosan változó értékeinél az a paraméter különböző értékeinél . A csúcsi lókuszon (kék terület) kívül a fázistér minden pontjához ( a , b ) csak egy x szélsőérték tartozik . A csúcsokon belül x két különálló értéke van, amelyek megadják a V ( x ) függvény helyi minimumát minden párhoz ( a , b ). Ebben az esetben ezeket az értékeket egy helyi maximum választja el.

Villák bifurkációja a = 0 helyen a b = 0 térben . A katasztrófapont közelében lévő ( a , b ) fázistérben lévő csúcsok alakja , amely a konvolúciós bifurkációk helyét mutatja, amely két stabil megoldású és egy döntésű régiót választ el. . A csúcspontok geometriája meglehetősen gyakori, amikor azt vizsgáljuk, hogy mi történik a konvolúciós bifurkációkkal, amikor egy új b paramétert adunk a vezérlőtérhez. A paraméterek megváltoztatásával megállapítható, hogy a térben ( a , b ) van egy görbe (kék), amelyen a stabilitás elveszik, vagyis ezen a görbén egy stabil megoldás hirtelen "ugrálhat" egy alternatívára. érték (szintén stabil).

De a csúcspontok geometriájában a bifurkációs görbe visszafordul, létrehozva egy második elágazást, amelyen ez a második megoldás már elveszti stabilitását, és így „visszaugorhat” az eredeti megoldáskészlethez. A b paraméter értékének többszöri növelésével , majd csökkentésével a hurkok viselkedésében hiszterézis figyelhető meg, mivel a rendszer követi az egyik megoldást, "ugrik" a másikra, követi azt és "ugrik" vissza az eredetihez.

Ez azonban csak olyan paraméteres térben lehetséges, ahol < 0. Ha az a paraméter értéke nő, a hiszterézis hurkok egyre kisebbek lesznek, amíg a értéke el nem éri a 0-t. Ekkor a hurkok eltűnnek (a csúcskatasztrófa) és csak egyetlen stabil megoldás.

Megfontolhatja az a paraméter megváltoztatásának folyamatát is, miközben a b értéke változatlan marad . Szimmetrikus esetben b = 0-nál „villa” típusú bifurkáció figyelhető meg az a paraméter csökkenő értékével, egy stabil megoldás hirtelen két stabil és egy instabil megoldásra szakad. Ekkor a fizikai rendszer a csúcson ( a = 0, b = 0) keresztül az a < 0 tartományba kerül (ez egy példa a spontán szimmetriatörésre). A csúcstól távol, a fizikai rendszerben nincsenek hirtelen változások, hiszen a konvolúciós bifurkációs görbe mentén haladva az történik, hogy egy második alternatív megoldás válik elérhetővé.

Az egyik legérdekesebb javaslat az ütközés használatára az, hogy ez a fajta ütközés használható egy olyan kutya viselkedésének modellezésére, amely külső inger hatására megijedhet vagy mérges lehet. A javaslat az, hogy mérsékelt expozíció esetén ( a > 0) a kutya válasza fokozatosan ijedtségből haragba változik, attól függően, hogy az expozíciót hogyan alkalmazták. De a magasabb expozíciós szint az a < 0 területre való átmenetnek megfelelő stressz. Ebben az esetben, ha a kutya kezdetben megijedt, akkor a stimuláció szintjének növekedésével rettegni fog, amíg végül el nem éri a visszatérés, ahol spontán átmenet lesz a gonosz módra. Amikor ebbe az üzemmódba lép, a kutya akkor is keserű marad, ha az expozíció fokozatosan csökken.

Egy másik példa a csúcskatasztrófa alkalmazott alkalmazására az elektron viselkedésének modellezése, amikor egyik energiaszintről a másikra mozog, ami gyakran megfigyelhető kémiai és biológiai rendszerekben. Ez azt jelzi, hogy a vizsgált típus bifurkációi és a csúcspontok geometriája a katasztrófaelmélet legfontosabb gyakorlati része. Ezek olyan minták, amelyek újra és újra megjelennek a fizikában, a mérnöki tudományokban és a matematikai modellezésben.

A fennmaradó egyszerű katasztrófa-geometriák speciálisabbak, mint az imént tárgyalt, ezért csak néhány egyedi esetben jelennek meg.

Fecskefarkú katasztrófa

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$

Az ilyen típusú katasztrófák irányítási tere háromdimenziós. A fázistérben a bifurkációk kaszkádja három "hajtás" típusú elágazási felületből áll, amelyek két bifurkációs görbén találkoznak csúcsokkal, amelyek végül egy pontban találkoznak, ami a "fecskefarkú" típusú bifurkáció.

Ahogy a paraméterek értékei haladnak a "hajtás" típusú bifurkációs területek felületén, a potenciálfüggvény egy minimuma és egy maximuma eltűnik. A csúcsos elágazások tartományában két minimumot és egy maximumot egy minimum helyettesít; mögöttük eltűnnek a „fold” típusú bifurkációk. A fecskefarkú pontban két minimum és két maximum találkozik az x változó azonos értékében . Az a > 0 értékeknél vagy egy pár (minimum, maximum) van a fecskefark mögött, vagy egyáltalán nincsenek bifurkációk. Ez a b és c paraméterek értékétől függ . Két "hajtás" típusú bifurkációs felület és két csúcspontú elágazási vonal találkozik < 0- nál , és ezért a fecskefarkú pontnál eltűnnek, és helyébe a "hajtás" típusú bifurkációk egyik felülete lép. Salvador Dali legújabb festményét , a Fecske farkát egy ilyen típusú katasztrófa ihlette.

Butterfly katasztrófa

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$

A paraméterek értékétől függően a potenciálfüggvénynek három, kettő vagy egy lokális minimuma lehet, és az összes minimumot „hajtás” bifurkációjú régiók választják el. A "pillangó" költői elnevezésű ponton három különböző tér (háromdimenziós sík) található az ilyen "hajtás" típusú elágazásokból, két elágazási felület csúcspontokkal és egy "fecskefarkú" típusú bifurkációs görbe. Mindezek a bifurkációk egy ponton eltűnnek, és egy egyszerű, csúcsos szerkezetté alakulnak, amikor az a paraméter értéke pozitív lesz.

Potenciális függvények két aktív változóval

A köldökkatasztrófák a másodrendű katasztrófák példái. Megfigyelhetők például az optikában, amikor a fény háromdimenziós felületekről verődik vissza. Önmagukban az ilyen katasztrófák szorosan összefüggenek a majdnem gömb alakú felületek geometriájával. René Thom azt javasolta, hogy a hiperbolikus köldökkatasztrófát egy hullám pusztulásának, az elliptikus köldökkatasztrófát pedig a hajszálvonalhoz hasonló struktúrák létrehozásának folyamatának tekintsék.

Hiperbolikus köldök

$V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$

Elliptikus köldök

$V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy$

Parabolikus köldök

$V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

A katasztrófák rögzítése és osztályozása Arnold szerint

V. I. Arnold javasolta a katasztrófák „ ADE-osztályozás ” osztályozását, mély összefüggéseket használva a Lie-csoportok elméletével .

A 0 egy nem szinguláris pont: . $V=x$
Egy 1 - lokális szélsőérték : stabil minimum vagy instabil maximum . $V = \pm x^2 + ax$
Egy 2 - ránc
A 3 - Összeszerelés
A 4 - fecskefarkú
Egy 5 -ös pillangó
A k egy változóból származó alakzatok végtelen sorozata $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 + - pénztárca = hiperbolikus köldök
D 4 - - piramis = elliptikus köldök
D 5 - parabolikus köldök
D k más köldökök végtelen sorozata
E 6 - szimbolikus köldök $V=x^3+y^4+axy^2+bxy+cx+dy$
E 7
E 8

A szingularitáselméletben vannak olyan objektumok, amelyek megfelelnek a legtöbb egyszerű hazugság-csoportnak.

A katasztrófaelmélet alkalmazásai

A matematikai elemzés ezen részének létrehozása és fejlesztése egyes összetett jelenségek vizuális elemzésének széles lehetőségeivel függött össze, különösen azoké, amelyek sokféle természeti jelenség leírásában fordulnak elő, amelyek nem folytonos függvényeket is figyelembe vesznek, amelyekre a matematikai apparátus. elemzés nem alkalmas ( szivárvány , maró , szerkezetek stabilitásának elvesztése , oszcillációk és roncsolás a szerkezeti mechanikában , viselkedés az etológiában , asztrofizika , az atomrács bifurkációs instabilitása , spontán sorrend a biokémiai reakciókban , populációdinamika , hidrodinamikai instabilitás és turbulencia előfordulása , egy furcsa attraktor kaotikus dinamikája).

Lásd még

A Szingularitások Lapja

Jegyzetek

↑ A katasztrófa kifejezést Tom vezette be, hogy egy objektum minőségi változását jelölje a paraméterek zökkenőmentes változásával, amelytől függ. Ez a korábban használt bifurkáció , átstrukturálás , metamorfózis kifejezéseket felváltó kifejezés azután vált széles körben népszerűvé, hogy Zeeman [121] a katasztrófaelmélet elnevezést javasolta a szingularitáselmélet, a bifurkációk elméletének és ezek alkalmazásaik összekapcsolására. V. I. Arnold . Katasztrófaelmélet .
↑ R. Thomas kezdeményezésére elágazások helyett "katasztrófákról" beszélnek. Ezeket a szavakat nem szabad szó szerint venni. Olyan példákat hozok fel, amelyeket a "katasztrófaelmélet"-ről szóló munkákban valóban komolyan fontolgattak: ha egy rugalmas szerkezet stabilitása megsérül, akkor ez nagy valószínűséggel katasztrófa, de ha a vízben megtörő napsugarak fényes vonalakat alkotnak A patak alján ez aligha aggódik senki, kivéve talán a gyerekeket, akik először látják. <...> Ha a katasztrófa egyet jelent a bifurkációval, akkor felmerülhet a kérdés, melyik kifejezés a megfelelőbb. Amint az elmondottakból kiderül, sem az egyik, sem a másik nem szó szerint értendő. De a „katasztrófa” egy olyan szó a hétköznapi (irodalmi és köznyelvi) nyelvben, amelynek van egy bizonyos és ráadásul érzelmileg is nagyon színes jelentése, és sokkal kevesebben tudnak a „bifurkáció” szó eredeti jelentéséről, és még ők sem. a hozzá kapcsolódó érzelmek. Ezért a semleges „elágazás” szó alkalmasabb a tudományra, a „katasztrófa” pedig a tömeges publikációkra. [D. V. Anosov. A dinamikus rendszerek elméletének fejlődéséről az elmúlt negyedszázadban]. A katasztrófaelmélet egyik fő feladata a vizsgált objektum úgynevezett normálformájának (differenciálegyenletnek vagy leképezésnek) megszerzése a „katasztrófapont” környezetében, és az ennek alapján épített objektumok osztályozása.

Irodalom

Oroszul

Arnold V. I. Katasztrófaelmélet / Rec.: A. V. Chernavsky . - 3. kiadás, add. — M .: Nauka . Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1990. - 128 p. - 84 000 példány. — ISBN 5-02-014271-9 .
V. I. Arnold . A katasztrófák elmélete.
V. I. Arnold . Szingularitások a variációszámításban.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovics, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov A bifurkációk elmélete.
V. I. Arnold, V. A. Vasziljev, V. V. Gorjunov, O. V. Ljasko Sajátosságok. I. Lokális és globális elmélet.
V. I. Arnold, V. A. Vasziljev, V. V. Gorjunov, O. V. Ljasko Sajátosságok. II. Osztályozás és alkalmazások.
A. B. Givental . Szinguláris Lagrange-sokaságok és Lagrange-leképezéseik.
V. M. Zakalyukin . Frontok átrendezései, kausztikák paramétertől függően, leképezések sokoldalúsága.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, – Bármelyik kiadás.
Arnold V. I. A maró anyagok és a hullámfrontok jellemzői, - M .: Fazis, 1996.
Brecker T., Lander L. Differenciálható baktériumok és katasztrófák, - Bármelyik kiadás.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabil leképezések és szingularitásaik, - M.: Mir, 1977.
Poston T., Stuart I. Katasztrófaelmélet és alkalmazásai, - M .: Mir, 1980.
Tom R. Strukturális stabilitás és morfogenezis, - M .: Logos, 2002.
Brus J., Jiblin P. Görbék és szingularitások: Geometriai bevezetés a szingularitások elméletébe, - M .: Mir, 1988.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Bevezetés a szingularitáselméletbe . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Angolul

Arnold, Vlagyimir Igorevics. Katasztrófaelmélet, 3. kiadás. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Robert. Katasztrófaelmélet tudósoknak és mérnököknek. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Katasztrófaelmélet – Előre jelezheti és elkerülheti a személyes katasztrófákat. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, Tim és Stewart, Ian. Katasztrófaelmélet és alkalmazásai. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
Poston, T. és Stewart, Ian. Katasztrófa: elmélet és alkalmazásai. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Sanns, Werner. Katasztrófaelmélet a Mathematicával: Geometriai megközelítés. Németország: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. Bevezetés a katasztrófaelméletbe. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1980.
Thom, Rene. Strukturális stabilitás és morfogenezis: A modellek általános elméletének vázlata. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Thompson, J. Michael T. Instabilitások és katasztrófák a tudományban és a mérnöki tudományban. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard és Davis, Monte. katasztrófaelmélet. New York: E. P. Dutton, 1978.
Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Linkek

Oroszul

D. V. ANOSZOV A dinamikus rendszerek elméletének fejlődéséről az elmúlt negyedszázadban.

Angolul

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online) Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00576387 NKC : ph195834