Morse elmélet

A Morse-elmélet Marston Morse által az 1920-as és 1930-as években kidolgozott matematikai elmélet , amely összekapcsolja a sokaságok algebrai-topológiai tulajdonságait és a sima függvények viselkedését a kritikus pontokon .

A differenciáltopológia módszereinek egyik történetileg első alkalmazása az elemzésben . Morse az elméletet „variation calculus in large”-nak ( angolul variation calculus in large ) nevezte, míg az 1960-as évektől kezdődően az eredmények végtelen dimenziós sokaságra történő általánosításával a Morse-elmélet a globális elemzés egyik alszakaszának számított . elosztók [1] . Raoul Bott munkáiban viszont az 1950-es évek második felében a Morse-elmélet módszereit tisztán topológiai problémákra alkalmazták, és a kapott eredmények (elsősorban a periodicitástétel ) nagyrészt egy függetlenség alapjául szolgáltak. matematika részleg - K-elmélet .

A Morse-elmélet három fő, egymás után kidolgozott területét különböztetjük meg: a sima sokaságon lévő kritikus pontok klasszikus elméletét , a Morse-elméletet a Riemann- sokaságon végzett geodetikusokhoz , amely a klasszikus elmélet konstrukcióinak alkalmazása volt, és a Morse-elméletet. elmélet a Banach sokaságokról , amely természetesen kiterjeszti a geodetikus elméletet, és közvetlen általánosítása a klasszikus elméletnek [2] .

A kritikus pontok elmélete egy sima sokaságon

A sima sokaság kritikus pontjainak elméletének kulcsfontosságú eredménye a Morse-lemma , amely leírja egy valós függvény viselkedését egy sokaságon egy nem degenerált kritikus pontban : a lemma szerint létezik egy térkép a környékre úgy, hogy mindenre és összességében a következőkkel rendelkezünk: $f:M\to \mathbb{R}$ $b\in M$ $(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$ $U\nb$ $x_{i}(b)=0$ $én$ $U$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{{\alpha }}^{2}+x_{{\alpha +1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

(Itt az index a pontban .) A lemma Hilbert-terekre vonatkozó általánosítása a Morse-Pale lemma . $\alpha$ $f$ $b$

Egy másik fontos eredmény a Morse-transzformáció alkalmazásához kapcsolódik : ha egy halmaz kompakt, nem metszi a sokaság határát , és pontosan egy olyan kritikus pontot tartalmaz, amely Morse-indexszel rendelkezik , akkor ez különbözik a ragasztással kapott sokaságtól. az index fogantyúja . $f^{{-1}}([a,b])$ $M$ $k$ $f^{{-1}}(b)$ $f^{{-1}}(a)$ $k$

Minden Morse-függvény egy sima , határ nélküli sokaságon (olyan, hogy minden halmaz kompakt legyen) egy CW-komplexumnak felel meg, amely homotopikusan egyenértékű azzal a sokasággal, amelynek cellái egy az egyben megfelelnek a függvény kritikus pontjainak és a függvény dimenziójának. a cella megegyezik a megfelelő kritikus pont Morse indexével . Ennek az eredménynek fontos következményei a Morse-egyenlőtlenségek . Ez az eredmény emellett hatékony eszközt biztosít a sokaságok topológiájának tanulmányozásához, és nem csak az indexek fontosak, hanem a kritikus pontok száma is. Például, ha egy Morse-függvény egy zárt sokaságon van megadva, amelynek pontosan vannak kritikus pontjai (amelynek indexe ismeretlen), akkor: $f$ $M$ $f^{{-1}}(a)$ $M$ $f$ $f:M\to R$ $m$

az eset a Morse-egyenlőtlenségek szerint lehetetlen; $m=1$
a következő esetekben : Reeb gömbtétele kimondja, hogy egy gömbhöz homeomorf (de általában véve nem diffeomorf ) ; $m=2$ $M$ $S^{n}$
eset csak néhány kis méretben lehetséges, miközben homeomorf az Eales-Kuiper sokasághoz . $m=3$ $M$

Jegyzetek

↑ Smale S. Mi az a globális elemzés? (angol) // American Mathematical Monthly. - 1969. - 1. évf. 76 , sz. 1 . - 4-9 . o . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
↑ Morse elmélet – Matematikai enciklopédiás cikk . M. M. Postnikov , Yu. B. Rudyak

Irodalom

Milnor, J. Morse elmélet / Per. angolról. V. I. Arnold . - 1965. - 184 p.
V. A. Sharafutdinov. Előadások. 3. fejezet: A Morse-elmélet alapjai