Reeb gömb tétele

Reeb gömb tétele : Legyen egy szingularitásokkal rendelkező fólia egy zárt , orientálható összekapcsolt sokaságon , amelynek minden szinguláris pontja elszigetelt és középpontja. Ekkor homeomorf a gömbhöz , és a foliációnak pontosan két szinguláris pontja van. $M^{n}$ $M^{n}$ $S^{n}$

A tételt 1946-ban Georges Ribe francia matematikus bizonyította .

Morse levélzet

Az F fólia izolált szinguláris pontját Morse-típusú pontnak nevezzük, ha kis környezetében minden réteg valamilyen Morse-függvény szintje , és ez maga is kritikus pontja ennek a függvénynek.

A Morse típusú szinguláris pontot középpontnak nevezzük , ha a függvény lokális szélsőpontja ; egyébként nyeregnek hívják .

Jelölje ind p = min( k , n − k ), a szingularitási indexet , ahol k a Morse-függvény megfelelő kritikus pontjának indexe. Különösen a középpont indexe 0, a nyereg indexe legalább 1. $p$

Az F Morse -fólia az M elosztón a C 2 osztály 1. kóddimenziójának speciális , keresztirányban orientált fóliázása , izolált szingularitásokkal, és:

minden Morse típusú F szingularitás ,
minden L szinguláris szál csak egy p szinguláris pontot tartalmaz ; sőt, ha ind p = 1, akkor megszakad. $L\setminus p$

Legyen c az F Morse-fólia középpontjainak száma , és a nyergeinek száma, kiderül, hogy a c − s különbség szorosan összefügg a sokaság topológiájával . $s$ $M$

Reeb gömb tétele

Tekintsük a c > s = 0 esetet, vagyis minden szingularitás középpont, nincs nyereg.

Tétel: [1] Tételezzük fel, hogy egy zárt orientált összefüggő dimenziósokaságon létezik az 1. kóddimenziónak egy -transzverzálisan orientált foliációja , amelyen izolált szinguláris pontok nem üres halmaza található, amelyek mindegyike középpont. Ekkor a foliációnak pontosan két szinguláris pontja van, és a sokaság $M^{n}$ $n\geq 2$ $C^1$ $F$ $F$ homeomorf egy gömbhöz . $M^{n}$ $S^{n}$

Ez a tény a Reeb-féle stabilitási tétel következménye .

Változatok és általánosítások

Általánosabb a helyzet $c>s\geq 0.$

1978-ban E. Wagneur általánosította a Reeb-féle gömb-tételt Morse-fóliázásokra nyeregekkel. Megmutatta, hogy a központok száma nem lehet túl nagy a nyergek számához képest, nevezetesen, . Tehát pontosan két olyan eset van, amikor : $c\leq s+2$ $c>s$

(egy)

c=s+2,

(2)

c=s+1.

Wagner olyan elosztókat is leírt, amelyeken az (1) esetet kielégítő levélzetek találhatók.

Tétel [2] : Legyen egy Morse-fólia középpontokkal és nyeregekkel egy kompakt összefüggő elosztón. Akkor . Ha , akkor $M^{n}$ $F$ $c$ $s$ $c\leq s+2$ $c=s+2$

$M^{n}$ homeomorf egy gömbhöz , $S^{n}$

minden nyereg indexe 1,

minden nem szinguláris szál diffeomorf egy gömbhöz . $S^{{n-1}}$

Végül 2008-ban Camacho és Scardua (C. Camacho, B. Scardua) megvizsgálta az ügyet (2), . Érdekes módon ez az eset csak bizonyos dimenziókban lehetséges. $c=s+1$

Tétel [3] : Legyen egy kompakt összekapcsolt sokaság, és legyen Morse-fólia -on . Ha , akkor $M^{n}$ $F$ $M^{n}$ $s=c+1$

$n=2,4,8$ vagy , $16$

$M^{n}$ egy Eales-Kuiper elosztó .

Linkek

↑ G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. – CRAS Paris 222, 1946, pp. 847-849. [1] Archiválva : 2016. március 9. a Wayback Machine -nél
↑ E. Wagneur , Formes de Pfaff à singularités non dégénérées - Annales de l'Institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165-176 [2] Archiválva : 2011. június 5. a Wayback Machine -nél
↑ C. Camacho, B. Scardua , Morse szingularitású foliációkról. — Proc. amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065-4073 [3]