Sylow tételei

A csoportelméletben Sylov tételei a Lagrange-tétel fordított tételének hiányos változatai, és a G csoport egyes osztói esetében garantálják az ilyen sorrendű részcsoportok létezését . A tételeket Sylov norvég matematikus bizonyította 1872 - ben .

Definíciók

Legyen véges csoport , és legyen egy prímszám , amely osztja a sorrendjét . A sorrendi alcsoportokat -alcsoportoknak nevezzük . $G$ $p$ $G$ $p^t$ $p$

Jelöljük ki a csoport sorrendjéből a maximális fokát , azaz ahol nem osztható -vel . Ekkor a Sylow - alcsoport a sorrend alcsoportja . $G$ $p$ $|G| = p^ns$ $s$ $p$ $p$ $G$ $p^{n}$

Tételek

Legyen véges csoport. Akkor: $G$

A Sylow -alcsoport létezik. $p$
Minden -alcsoport egy Sylow -alcsoportban található. Minden Sylow -alcsoport konjugált (azaz mindegyik mint , ahol a csoport egy eleme, és Sylow alcsoport az 1. Tételből). $p$ $p$ $p$ $gPg^{-1}$ $g$ $P$
A Sylow -alcsoportok száma a modulo ( ) egységhez hasonlítható és osztja , ahol és . $p$ $N_p$ $p$ $N_{p}\equiv 1\;{{\rm {mod\,}}}p$ $s$ $|G|=p^{k}s$ $(p,s)=1$

Következmény

Ha az 1 kivételével minden osztó az egységtől eltérő maradékot ad, akkor van egy egyedi Sylow -alcsoport, és ez normális (sőt jellemző ). $|G|$ $p$ $G$ $p$

Például: Bizonyítsuk be, hogy a 350-es rendű csoport nem lehet egyszerű . , így a Sylow 5-alcsoport sorrendje 25. 14-et kell osztania, és 1 modulo 5 kongruens. Ezeket a feltételeket csak az azonosság teljesíti. Ezért egy Sylow 5-alcsoportban, ami azt jelenti, hogy ez normális, ezért nem lehet egyszerű. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ $N_5$ $G$ $G$

Bizonyíték

Legyen a sorrend elsődleges osztója . $p^{n}$ $p$ $G$

1. A tételt indukcióval bizonyítjuk sorrendben . Amikor a tétel igaz. Most engedd . Legyen a csoport közepe . Két eset lehetséges: $G$ $|G|=p$ $|G|>p$ $Z(G)$ $G$

a) oszt . Ekkor a középpontban van egy ciklikus csoport (a középpont elsődleges dekompozíciójának elemeként ), amely normális -ban . A ciklikus csoport hányadoscsoportja alacsonyabb rendű, mint a , így az indukciós hipotézis szerint Sylow -alcsoportot tartalmaz. Tekintsük a prototípusát . Ez lesz a Sylow -alcsoport , amire szükségünk van . $p$ $|Z|$ $\langle a\rangle _{p^{k))$ $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$

b) nem oszt . Ezután tekintse meg a partíciót a konjugált osztályokba : (mivel ha egy elem a középpontban van, akkor a konjugált osztálya csak ebből áll). A sorrend osztható -vel , tehát kell lennie olyan osztálynak, amelynek a sorrendje nem osztható -vel . A megfelelő központosítás sorrendje , . Ezért az indukciós hipotézis szerint egy Sylow -alcsoport van benne - ez lesz a kívánt. $p$ $|Z|$ $G$ $|G| = |Z| + \sum |K_a|$ $G$ $p$ $K_{a}$ $p$ $Z_G(a)$ $p^{n}r$ $r<s$ $p$

2. Legyen tetszőleges -alcsoportja . Tekintsük a balra eltolásokkal végzett bal kosethalmazra gyakorolt hatását , ahol van egy Sylow -alcsoport. Bármely nem triviális pálya elemeinek számának oszthatónak kell lennie -vel . De nem osztható -vel , ami azt jelenti, hogy a cselekvésnek fix pontja van . Kapjuk , és így a , azaz teljes egészében valamilyen Sylow -alcsoportba tartozik. $H$ $p$ $G$ $G/P$ $P$ $p$ $p$ $|G/P|$ $p$ $gP$ $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ $H$ $p$

Ha ezen kívül egy Sylow -alcsoport, akkor konjugált a -hoz . $H$ $p$ $P$

3. A Sylow p-alcsoportok száma [G:N G (P)], ezért osztja |G|-t. A 2. Tétel szerint az összes Sylow p-alcsoport halmaza X = {gPg -1 }. Tekintsük P hatását X-re ragozással. Legyen X-ből H egy fix pont ebben a műveletben. Ekkor P és H a H alcsoport normalizálójához tartoznak, és ráadásul konjugálva vannak az N G -ben (H), mint annak Sylow p-alcsoportjai. De H normális a normalizálójában, tehát H = P, és az egyetlen fix hatáspont a P. Mivel minden nem triviális pálya rendje p többszöröse, azt kapjuk, hogy . $N_p \equiv 1 \pmod p$

A Sylow alcsoport megkeresése

Egy adott csoport Sylow alcsoportjának megtalálásának problémája fontos probléma a számítási csoportelméletben . A permutációs csoportokra William Cantor bebizonyította, hogy a Sylow p -alcsoport polinomiális időben megtalálható a feladat méretében (jelen esetben a csoport sorrendje, a generátorok számának szorzata ).

Irodalom

A. I. Kostrikin. Bevezetés az algebrába, III. rész. Moszkva: Fizmatlit, 2001.
E. B. Vinberg. Algebra tanfolyam. M.: Factorial-Sajtó, 2002.