Inverz függvénytétel

Az inverz függvény tétele elegendő feltételt ad egy inverz függvény létezéséhez egy pont szomszédságában magának a függvénynek a deriváltjaként .

A tétel vektorfüggvényekre általánosít . Az inverz függvénytételnek is vannak változatai holomorf függvényekre , sokaságok közötti sima leképezésekre , Banach terek közötti sima függvényekre .

Formulációk

Valós értékű függvény

Egy változó függvényére a tétel azt mondja, hogy ha egy folytonosan differenciálható függvény nullától eltérő deriválttal a pontban , akkor invertálható a szomszédságában . Ráadásul az inverz függvény folyamatosan differenciálható, és $f$ $a$ $f$ $a$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Több változó függvényei

Ha a tér nyílt részhalmazából a térbe ható, folytonosan differenciálható függvény Jacobi-mátrixa egy pontban invertálható , akkor maga a függvény invertálható egy szomszédságban . $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p$ $F$ $p$

Jegyzetek

A tétel második része a függvények összetételének megkülönböztetésére vonatkozó szabályból következik .
Az inverz függvény léte egyenértékű azzal, hogy az egyenletrendszernek lehet megoldása adott -ra , feltételezve, hogy és a és -nek kis szomszédságában található . $F$ $n$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\pontok ,x_{n})$ $x_{1},\pontok,x_{n}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x$ $y$ $p$ $F(p)$

Példa

Tekintsük a vektorfüggvényt $F\colon \mathbb {R} ^{2}\ to \mathbb {R} ^{2}$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmátrix}}.

A jakobi mátrixnak megvan a formája $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmátrix)).

Meghatározója a következő :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Vegye figyelembe, hogy bármikor A tétel szerint minden ponthoz van egy szomszédság, amelyen megfordítható. $e^{2x}\neq 0$ $p\in \mathbb {R} ^{2}$ $F$

Ne feledje azonban, hogy ez visszafordíthatatlan a teljes tartományban. Igazán, $F$ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

bármely . Különösen nem injektív

(x,y)

F

Változatok és általánosítások

Végtelen dimenziós eset

A végtelen dimenziós esetben ezenkívül meg kell követelni, hogy egy pontban a Fréchet-származékok korlátos inverz operátorral rendelkezzenek. $p$

Fajták

Az inverz függvénytétel a sima sokaságok közötti sima leképezésekre általánosít . Legyen sima leképezés a sima elosztók között . Tegyük fel, hogy a differenciál $F\colon M\to N$

d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N

pontban lineáris izomorfizmus . (Különösen .) Akkor létezik egy olyan nyitott környék , hogy $p$ $\dim M=\dim N$ $U\ni p$

F|_{U}\colon U\ to F(U)

egy diffeomorfizmus .

Banach szóközök

Legyen és legyen Banach terek , és legyen nyitott szomszédsága a -nak . Tegyük fel, hogy a leképezés folytonosan differenciálható, és differenciálja egy korlátos lineáris izomorfizmus . Aztán van egy nyitott szomszédság és egy folyamatosan differenciálható leképezés , hogy az all in . $x$ $Y$ $U$ $0\in X$ $F\colon U\to Y$ $d_{0}F\colon X\to Y$ $X\to Y$ $V\ni F(0)$ $G\colon V\to X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$

Banach fajták

Ez a két általánosítási sor kombinálható a Banach-sokaságok inverz függvénytételében. [egy]

Lásd még

Implicit függvénytétel

Jegyzetek

↑ Lang 1995, Lang 1999, pp. 15-19, 25-29.

Linkek

Zorich V. A. Matematikai elemzés, bármilyen kiadás
Iljin V. A., Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai, 3. kiadás, 1. rész, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 5. kiadás, M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 2. kiadás, M., 1965
Nikolsky S. M. Matematikai elemzés tanfolyam, 2. kiadás, 1-2. kötet, M., 1975
Pontryagin L. S. Rendes differenciálegyenletek, 4. kiadás, M., 1974 - 33. §
Schwartz L. Elemzés, ford. franciából, 1. kötet, M., 1972
Serge Lang . Differenciál- és Riemann-elosztók. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
Serge Lang . A differenciálgeometria alapjai. - New York: Springer, 1999. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
Nijenhuis, Albert. Erős származékok és inverz leképezések (angol) // Amer. Math. Havi : folyóirat. - 1974. - 1. évf. 81 , sz. 9 . - P. 969-980 . - doi : 10.2307/2319298 .
Renardy, Michael és Rogers, Robert C. Bevezetés a parciális differenciálegyenletekbe (olasz) . — Másodszor. - New York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Alkalmazott matematikai szövegek 13.). — ISBN 0-387-00444-0 .
Rudin, Walter . A matematikai elemzés alapelvei (neopr.) . — Harmadik. - New York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (Nemzetközi sorozat a tiszta és alkalmazott matematikában). — ISBN 978-0070542358 .