Kilencpontos tétel egy köbös görbén

A köbös görbe 9 pontos tétele az algebrai geometriában , amely azt mondja, hogy

Ha két hármas egyenes (a jobb oldali ábrán kék és piros) 9 metszéspontjából 8 egy kockán (harmadrendű görbe, fekete) fekszik, akkor a kilencedik is azon fekszik.

Ez a tétel az alapja annak a lehetőségnek, hogy egy csoport szerkezetét köbös görbén határozzuk meg.

Bizonyítás

Az alábbiakban egy egyszerű bizonyíték található, amely csak az iskolai tanterv tényeit használja. Három részből áll: két lemmából és magából a tételből.

Lemma 1

Ha egy polinom két változóban , egy egyenes végtelen számú pontjában nulla értéket vesz fel, akkor osztható ennek az egyenesnek az egyenletével, azaz . $P\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Jelöljük . A feltételben egy egyenes van megadva, tehát vagy , vagy nem egyenlő 0-val. Feltesszük, hogy ez , akkor , és . Közvetlen polinomon , de ugyanakkor végtelen sok különböző értéket vehet fel, ezért , és így . ■ $z\,:=\,ax+by+c$ $a$ $b$ $b$ $y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)$ $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x) ,\,z)+R\,(x)$ $l:\,z=0$ $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$ $x$ $R\,(x)\ekvivalens 0$ $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c$

Lemma 2

Ha a kockák és az egyenes három pontjában metszik egymást , akkor létezik olyan szám , hogy . $P\,(x,\,y)$ $Q\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $t$ $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Az 1. lemmához hasonlóan feltételezzük, hogy akkor az egyenes pontjaira az egyenlőség , hasonlóan a -hoz . Az és polinomok három közös pontban egyenlők 0-val, fokuk nem nagyobb 3-nál, tehát van olyan szám , hogy ezen az egyenesen minden pontra. Az 1. lemma alkalmazásával megkapjuk a szükséges állítást. ■ $b\neq 0$ $l$ $P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)$ $Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)$ $P_{1}\,(x)$ $Q_{1}\,(x)$ $t$ $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$

A tétel bizonyítása

A következőkben a rövidség kedvéért a polinomok paramétereit elhagyjuk. Jelöljük a fekete kocka egyenletét mint , a piros vonalakat mint és , a piros kocka pedig mint . Hasonlóan a kék vonalakhoz és kockákhoz . Ebben az esetben a számozást úgy tekintjük, hogy igazolni kell, hogy a metszéspont a kockához tartozik . $(x,\,y)$ $H$ $K_{1},K_{2}$ $K_{3}$ $K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}$ $S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

A vonalra és a kockára és a 2. lemmára alkalmazva azt kapjuk, hogy létezik olyan szám , amelyre . Hasonlóképpen létezik olyan, hogy . Ekkor a harmadfokú polinom osztható és -vel , azaz . A polinom az egyenes minden pontjára, a vonalakra és az általános pozícióra nullával egyenlő , ami azt jelenti, hogy a 0 értéket pontosan az egyenes egy pontjában veszi fel . Ezért az egyenes végtelen számú pontjában egyenlő nullával, és 1 lemma alapján osztható az egyenletével. Így , ami azt jelenti , ahol az elsőnél nem magasabb fokú polinom, azaz egy egyenes vagy nulla. $K_1$ $S$ $H$ $a$ $Ha\cdot S\,\vdots \,K_{1}$ $b$ $Hb\cdot K\,\vdots \,S_{1}$ $A=Ha\cdot Sb\cdot K$ $K_1$ $S_{1}$ $A=A_{1}\cdot K_{1}$ $A$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $A_{1}$ $S_{1}$ $A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}$ $A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K$

Tegyük fel, hogy ez egy egyenes. Az egyenlőség bal oldala a és pontokban egyenlő nullával , ami azt jelenti, hogy a jobb oldalon lévő három tényező közül az egyik nullával is egyenlő. De a vonalak nem mennek át ezeken a pontokon, így mindegyik ugyanazon a vonalon fekszik - . De ez lehetetlen. $K$ $Ha\cdot Sb\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}$ $K_{3}\cap S_{2}$ $K_1$ $S_{1}$ $K$

Így ami azt jelenti . De a kockák és átmennek a ponton , és így a kocka is áthalad ezen a ponton. ■ $Q\equiv 0$ $H=a\cdot S+b\cdot K$ $K$ $S$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Alkalmazás

A 9 pontos tétel segítségével egyszerűen bizonyítunk néhány tényt a projektív geometriából, például Pascal tételét :

Ha egy hatszöget egy kúpszeletbe írunk , akkor három pár szemközti oldal metszéspontja ugyanazon az egyenesen fekszik.

A jobb oldali ábrán egy hatszög 3 piros és 3 kék oldalú fekete parabolába van írva . A piros és a kék vonal 9 zöld pontban metszi egymást, amelyek közül 6 egy parabolán fekszik, a másik kettőn pedig egy fekete vonal húzódik. Mivel a fekete kocka 8 zöld pontot tartalmaz, amelyek a piros és a kék kocka metszéspontjából alakulnak ki, így a kilencedik pont is benne van. De ez a pont nem a parabolán fekszik, ami azt jelenti, hogy a vonalhoz tartozik. ■

Használható az elliptikus görbe pontok összeadási műveletének asszociativitásának bizonyítására is [1] . Ugyanis, ha A , B , C , O egy köbgörbéhez tartozik. Három BC , O (A + B) és A (B + C) sor esetén ; a három AB , O (B + C) és C (A + B) egyenesre pedig . A következő nyolc A, B, C, A + B, -A-B, B + C, -BC, O pont a kockán fekszik. Ezért a kilencedik pont -A-(B+C)=-(A+B)-C tartozik hozzá.

Chall tétele

A Chall-tétel egy általánosítás arra az esetre, amikor nem egyenesek hármasait, hanem tetszőleges kockákat veszünk [2] :

Ha a projektív síkban két kockának 9 közös pontja van, akkor bármelyik másik, 8-on áthaladó kocka is átmegy a kilencediken.

Jegyzetek

↑ V. V. Ostrik, M. A. Tsfasman. Algebrai geometria és számelmélet: Racionális és elliptikus görbék . - M. : MTsNMO , 2001. - S. 20-24. — 48 s. — (Matematikai oktatás). — ISBN 5-900916-71-5 . Archiválva : 2010. december 28. a Wayback Machine -nél
↑ D. Eisenbud, M. Green, J. Harris. A Cayley-Bacharach-tétel és hipotézisek . - 1996. Archiválva : 2011. május 14. a Wayback Machine -nél .

Lásd még

Cayley-Bacharach tétel
Kilencpontos kúp