Hadwiger tétele

Hadwiger tétele az euklideszi tér konvex testeinek folyamatos értékeléseit jellemzi , amelyek mozgás közben invariánsak. Hugo Hadwiger bizonyította .

Bevezetés

Értékelések

Legyen az összes nem üres kompakt konvex halmaz osztálya -ben . A on értékelés olyan függvény , hogy az egyenlőség $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

mindenre vonatkozik , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Ahol

Folyamatosnak nevezzük az értékelést, ha a Hausdorff-metrikához képest folyamatos .
Az értékelést mozgásinvariánsnak nevezzük, ha bármely φ mozgásra és bármely mozgásra vonatkozik $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Átlagos keresztirányú mérték

$k$ -a test átlagos keresztirányú mértéke a dimenziós síkra való vetületek átlagos -dimenziós területe . $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Különösen,

$W_{n}(S)$ - hangerő , $S$
$W_{n-1}(S)$ arányos a felülettel . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Megfogalmazás

Bármilyen folytonos v értékelés K n -on , mozgások alatt invariáns, így ábrázolható

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Irodalom

Semyon Alesker Bevezetés a konvex halmazokon végzett értékelések elméletébe Előadások videófelvételei, Nyári Matematikai Iskola "Algebra és Geometria" 2014. július 25-31. Jaroszlavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. – Berlin: Springer, 1957.
Klain, D. A.; Rota, G.-C. Bevezetés a geometriai valószínűségbe (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Hadwiger térfogattételének egyszerűsített elemi bizonyítása // Geom . Dedicata: folyóirat. - 2004. - 20. évf. 105 . - 107-120 . o . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .