Novikov kompakt réteg tétel

Novikov-féle kompakt rétegtétel : A nem összehúzódó univerzális borítású , 3 elosztón lévő kétdimenziós fóliázásnak kompakt rétege van .

Novikov kompakt rétegtétele egy gömbön $S^{3}$

Tétel: Egy gömbön lévő sima, kétdimenziós fóliázásnak van egy tömör szála, amely diffeomorf a tóruszhoz képest, és egy Reeb-fóliázással határos területet határol . $S^{3}$ $T^{2}$ $D^{2}\szer S^{1}$

S. P. Novikov 1964-ben bizonyította . Ezt megelőzően Charles Ehresmann úgy sejtette, hogy minden sima, kétdimenziós fóliázásnak van egy tömör szála, ami igaz volt minden akkor ismert példára. Így a Reeb levélzetnek van egy tórusz szála . $S^{3}$ $T^{2}$

Novikov kompakt rétegtétele egy tetszőleges $M^{3}$

1965-ben bebizonyították egy tetszőleges sokaságra vonatkozó kompakt rétegtételt : $M^{3}$

Tétel: Teljesüljön az egyik feltétel egy zárt elosztón , amelyen sima, kétdimenziós fóliázás adott : $M^{3}$ $F$

az alapcsoport véges, $\pi _{1}(M^{3})$
második homotópia csoport , $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$
van egy zárt transzverzális homotópia nullához,
létezik olyan szál , amelynél a zárvány által kiváltott leképezésnek nem triviális magja van . $L\in F$ $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$

Ezután egy kompakt rost nemzetség . Ezen túlmenően, a 2. eset kivételével, a foliáció minden esetben tartalmaz egy Reeb komponenst , a 2. esetben pedig vagy egy Reeb komponenst, vagy az összes szál zárt és diffeomorf gömbökkel vagy projektív síkokkal . $F$ $g\leq 1$ $F$ $S^{2}$ $RP^{2}$

A fedések tekintetében ez a tétel a következőképpen fogalmazódik meg:

A nem összehúzódó univerzális burkolattal ellátott zárt elosztócső sima 2 dimenziós fóliázása kompakt szálú. $M^{3}$

Általánosítás egy nem sima foltozás esetére a $M^{3}$

1965-ben Novikov tételét bebizonyították az osztály fóliázásaira . $C^\infty$

1970-ben bizonyítást adtak az osztálynak [1] , $C^{2}$

1975-ben a [2] osztályú lombozatokra . $C^1$

Végül 1982-ben V. Solodov bebizonyította Novikov tételét az osztály fóliázásaira . Ez az eredmény annál is érdekesebb, mert P. Schweitzer még 1974-ben konstruált példákat -fóliázásokra olyan gömbökön , amelyek nem rendelkeznek tömör szálakkal [3] . $C^{0}$ $C^{0}$ $S^{2k+1}$ $k>1$

Novikov tételének általánosítása szingularitásokkal rendelkező fóliákról szóló gömbről $S^{3}$

1973-ban Wagner az 1. kóddimenziójú foliációkat Morse szingularitásokkal (azaz lokálisan Morse-függvény szintű felületek halmazaiként rendezett ) vizsgálta a gömbön . A Morse szingularitások „gömb alakúak” és „kúposak”. $S^{3}$

Tétel [4] : Legyen egy foltozásnak s gömbi szingularitása és s kúpos szingularitása.

Ha , a foliáció tartalmazza a Reeb komponenst . $s=c$

Ha , akkor egy ilyen általános foliáció összes nem szinguláris szála diffeomorf a gömbhöz képest . $s>c$ $s=c+2$ $S^{2}$

Ha , akkor előfordulhat, hogy a lombozatnak nincsenek tömör szálai. $s<c$

Irodalom

S. P. Novikov . A foliációk topológiája//Tr. Moszkva mat. szigetek. - 1965. - V.14. - 249-278.
I. Tamura . A foliáció topológiája - M: Mir, 1979.
D. Sullivan , Cycles for the dinamikus study of foliated manfolds and complex manfolds, Invent. Math. 36 (1976), p . 225-255. [egy]

Jegyzetek

↑ Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.-Ann. of Math., 1970, v. 91. o. 1-24.
↑ Ültessen JF Foliations-t holonómiát megőrző mértékkel. – Ann. of Math., 1975, v. 102. o., 2. o. 327-361.
↑ Schweitzer P.A. Ellenpélda a Seifert-sejtésre és a lombozatok felnyíló levelei. – Ann. of Math., 1974, v. 100., 2. sz. 386-400.
↑ Wagneur E. Novikov tételének általánosítása izolált generikus szingularitású foliációkra - Topology and its Appl., Proc. Konf. Mem. Univ. Új-Fundland, St. John's, Kanada, 1973, v.12, New York, 1975, 189-198.