Luzin tétele
Luzin tétele egy valós vagy összetett változó függvényének mérhetőségének szükséges és elégséges feltételeiről szóló állítás . E tétel szerint minden, egy szakaszon mérhető függvény nem más, mint egy folytonos függvény , amely torzult valamilyen tetszőlegesen kis mértékhalmazon . Ezt az állítást gyakran -tulajdonságnak is nevezik .
![{\displaystyle \left[a,b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa)
Megfogalmazás
Ahhoz, hogy az intervallumon definiált függvény mérhető legyen, szükséges és elegendő, hogy rendelkezzen az úgynevezett -tulajdonságokkal : bármelyikre van olyan folytonos függvény az intervallumon , amelyre a halmaz mértéke kisebb, mint .
![{\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22210667621bbbb75572fab3f5b9ba8ef69ff58)
Bizonyítás
A bizonyíték kezdők számára hozzáférhető formában a [1] könyvben található . Ráadásul Luzin tétele könnyen levezethető Egorov tételéből [2] . Ebben a tételben egy tetszőlegesen kis szám nem helyettesíthető nullával (sérül a szükségesség).
Felfedezési előzmények
Jegyzetek
- ↑ Sobolev V.I. , Előadások a matematikai elemzés további fejezeteiről. - M .: Nauka, 1968 - 135. o.
- ↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. , A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - ch. V, 4.7.
Irodalom
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. — M .: Nauka , 1976. — 544 p.
- Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 p.
- Bogacsev VI . Egorov és Luzin tételei felfedezésének történetéről . - Történeti és matematikai kutatás , vol. 48 (13), 2009.