Egorov tétele

Egorov tétele kimondja, hogy a mérhető függvények sorozata, amely szinte mindenhol konvergál egy bizonyos halmazon, egyenletesen konvergál annak egy kellően nagy részhalmazán.

Megfogalmazás

Adjunk meg egy teret olyan véges mértékkel , hogy , és egy olyan mérhető függvénysorozatot definiálunk rajta, amely szinte mindenhol konvergál -hoz . Ekkor bármelyikhez létezik olyan halmaz , hogy , és a sorozat egyenletesen konvergál a on -hoz . $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu (X)<\infty$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$ $\varepsilon >0$ $X_{\varepsilon }\subset X$ $\mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon$ $\{f_{n}\}$ $f$ ${\displaystyle X_{\varepsilon ))$

Jegyzetek

A tétel által levezetett konvergenciát gyakran csaknem egyenletes konvergenciának nevezik .
A végesség elengedhetetlen. Legyen például , ahol egy Borel σ-algebra -on , és a Lebesgue-mértéke . Jegyezze meg, hogy . Jelölje , ahol a halmaz indikátorfüggvényét . Ezután pontonként nullához konvergál , de nem konvergál egyenletesen egy véges mértékhalmaz komplementerén sem. $\mu (X)$ $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$ $m(\mathbb {R} )=\infty$ $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\{f_{n}\}$

Változatok és általánosítások

Egorov tétele természetesen általánosít a Banach-térben lévő értékekkel rendelkező függvények esetére . [egy]

Luzin tétele

Jegyzetek

↑ Heinonen, Juha et al. Szobolev szóközök a metrikus mértéktereken. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. — M .: Nauka , 1976. — 544 p.
Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 p.

Dmitri Egoroff , Sur les suites des fonctions measurables. CR Acad. sci. Paris, (1911) 152:135–157.
Bogacsev V. I., Egorov és Luzin tételeinek felfedezésének történetéről, Történelmi és matematikai kutatások , 1. kötet. 48 (13), 2009.