Liouville fázistérfogat-megmaradási tétele

Liouville tétele , amelyet Joseph Liouville francia matematikusról neveztek el , a matematikai fizika , a statisztikai fizika és a Hamilton-mechanika kulcstétele . A tétel a fázistérfogat, vagy a fázistérbeli valószínűségi sűrűség időbeni megmaradását állítja.

Megfogalmazás

A Hamilton-rendszer eloszlásfüggvénye a fázistér bármely pályája mentén állandó .

Liouville-egyenlet

A Liouville-egyenlet egy Hamilton-rendszer eloszlásfüggvényének ( valószínűségi sűrűségének ) időbeli alakulását írja le -dimenziós fázistérben ( a részecskék száma a rendszerben). Tekintsünk egy Hamilton-rendszert koordinátákkal és konjugált momentumokkal , ahol . Ekkor a fázistérbeli eloszlás határozza meg annak valószínűségét , hogy a rendszer a fázisterének térfogatelemében lesz. $6N$ $N$ $q_{i}$ $p_{i}$ $i=1,\pontok ,d,$ $d=3N$ $\rho (p_{i},q_{i})$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

A Liouville-egyenlet leírja az időbeli fejlődést a függvény teljes deriváltjának megtalálásának szabálya szerint , figyelembe véve az áramlás összenyomhatatlanságát a fázistérben: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^ {d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

A Hamilton- rendszerek fáziskoordinátáinak időbeli deriváltjait a Hamilton-egyenletek alapján írjuk le :

{\pont {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\ részleges p_{i}}},

{\pont {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

A tétel egyszerű bizonyítása az a megfigyelés, hogy az evolúciót a folytonossági (kontinuitási) egyenlet határozza meg : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operátornév {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operátornév {grad} \rho =0,

ahol a fázistér vizsgált térfogatának mozgási sebessége: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\pont {q))_{ i})}{\partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho {\pont {p))_{i})}{\partial p_{i))}\right)

és az a megfigyelés, hogy e kifejezés és a Liouville-egyenlet közötti különbséget csak a divergenciát leíró kifejezés határozza meg, nevezetesen annak hiánya, ami a valószínűségi sűrűség forrásainak vagy nyelőinek hiányát jelenti:

\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\pont {q))_{i} }{\partial q_{i))}+{\frac {\partial {\pont {p))_{i)){\partial p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i))}-{\frac {\partial ^{2}H }{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,

hol van a Hamilton , és Hamilton egyenleteit használták . Ezt úgy ábrázolhatjuk, mint a rendszer pontjainak „fluid flow” fázisterén áthaladó mozgást. A tétel azt jelenti, hogy a sűrűség Lagrange deriváltja vagy szubsztanciális deriváltja egyenlő nullával. Ez a folytonossági egyenletből következik, mivel a fázistérben a sebességmező divergenciamentes, ami viszont a konzervatív rendszerek Hamilton-egyenleteiből következik. $H$ $d\rho /dt$ $({\pont {p)),{\pont {q)))$

Geometriai értelmezés

Tekintsük egy kis folt (ponthalmaz) pályáját a fázistérben. A pályák halmaza mentén haladva a folt egy koordinátán megnyúlik, mondjuk - -, de összenyomódik egy másik koordinátán , így a szorzat állandó marad. A folt területe (fázistérfogata) nem változik. $p_{i}$ $q_i$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Pontosabban, a fázistérfogat az időeltolódások során megmarad. Ha egy $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

és a fázistér azon pontjainak halmaza, amelyekbe a halmaz időben fejlődhet , akkor $\Gamma (t)$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

minden időre . A Hamilton-rendszer fázisterének térfogata megmarad, mert a Hamilton-féle mechanikában az időfejlődés kanonikus transzformáció , és minden kanonikus transzformációnak van egy Jacobi -egysége . $t$

A szimplektikus formán keresztül

Legyen szimplektikus sokaság és sima függvény. Legyen egy szimplektikus gradiens , azaz egy vektormező, amely kielégíti a relációt $(M,\omega )$ $H\colon M\to \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

bármely vektormezőre . Akkor $x$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

ahol a Lie deriváltot jelöli . $\mathcal{L}$

Ebből az állításból a Liouville-tétel következik. A fenti azonosságból valóban az következik

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

és ha -dimenziós, akkor a térfogatforma a -n van . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Fizikai értelmezés

A várt teljes részecskék száma az eloszlásfüggvény teljes fázisterére kiterjedő integrál:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(normalizációs tényező elhagyva). A legegyszerűbb esetben, amikor egy részecske az euklideszi térben a koordinátákkal és momentumokkal rendelkező potenciális erők mezőjében mozog , a Liouville-tétel így írható fel. $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

hol a sebesség. A plazmafizikában ezt a kifejezést Vlasov-egyenletnek vagy ütközésmentes Boltzmann-egyenletnek nevezik, és nagyszámú, önkonzisztens erőtérben mozgó ütközésmentes részecske leírására használják . $\mathbf {v} ={\pont {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

A klasszikus statisztikai mechanikában a részecskék száma nagy, az Avogadro-szám nagyságrendjében . Stacionárius esetben egy adott statisztikai gyűjteményben elérhető mikroállapotok sűrűsége található . Stacionárius állapotok esetén az eloszlásfüggvény megegyezik a Hamilton-függvény bármely függvényével , például a Maxwell-Boltzmann-eloszlásban , ahol a hőmérséklet , a Boltzmann-állandó . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Jelölés a Poisson zárójelben

A Poisson zárójel használatával , amely kanonikus koordinátákban az $(q^{i},p_{j})$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i))}{\frac {\ részleges B}{\részleges p_{i))}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i))}{\frac {\partial B}{\partial q^{i))}\right ),

a Liouville-egyenlet a Hamilton-rendszerekre a formát ölti

{\frac {\partial \rho }{\partial t))=-\{\rho ,H\}.

Jelölés a Liouville operátorral

A Liouville operátor használata

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}{\frac {\partial }{\partial q_{i))}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}{\frac {\partial }{\partial p_{i))}\right]

a Hamilton-rendszerek egyenlete a következőt veszi fel

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+i{\hat {L))\rho =0.

Jegyzetek

A kanonikus kvantálás a tétel kvantummechanikai változatát adja.

Ez az eljárás, amelyet gyakran alkalmaznak a klasszikus rendszerek kvantumanalógjainak előállítására, magában foglalja a klasszikus rendszer leírását a Hamiltoni mechanika segítségével. A klasszikus változókat ezután újraértelmezik, mégpedig kvantumoperátorokká, míg a Poisson zárójeleket kommutátorok helyettesítik . Ebben az esetben az egyenletet kapjuk

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

ahol ρ a sűrűségmátrix . Ezt az egyenletet von Neumann-egyenletnek nevezik , és a Hamilton-rendszerek kvantumállapotainak alakulását írja le.

A Liouville-egyenlet igaz egyensúlyi és nem egyensúlyi rendszerekre. Ez a nem egyensúlyi statisztikai mechanika alapvető egyenlete.

A fázisáram összenyomhatatlanságának, azaz a feltétel teljesülésének feltételezése

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\partial }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\jobbra) =0,

jelentős. Egy tetszőleges dinamikus rendszer általános esetben

{\pont {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\pont {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

a részecskék fázistérbeli eloszlási sűrűségének időbeli alakulásának egyenletét a mérleg egyenletből kapjuk $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \Lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]

(az utolsó összefüggés a fázistérfogat elem skálázása végtelenül kicsi elmozdulással a fázispálya mentén). A végső egyenletnek megvan a formája

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i))}\right)=0

(lásd még a Fokker-Planck egyenletet ), és ebben az esetben egybeesik a Liouville egyenlettel. ${\displaystyle Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i))$

Lásd még

Poincaré-Cartan integrál