Dirichlet egységtétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Dirichlet-féle egységtétel az algebrai számelmélet egyik tétele , amely leírja egy számmező algebrai egész számainak gyűrűjének invertálható elemei (más néven egységei ) alcsoportjának rangját . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Megfogalmazás

Legyen számmező (vagyis véges kiterjesztése ), és legyen egész számokból álló gyűrűje. Ekkor az invertálható elemek csoportjának rangja egyenlő -val , ahol a különböző beágyazások száma a valós számok mezőjében , és a komplex konjugált különböző beágyazáspárok száma , amelyek nem tisztán valódiak. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Jegyzetek

Más szavakkal, a fokmező gyűrűjében olyan mértékegységek vannak , amelyekben minden egység egyedileg van ábrázolva ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

ahol egész számok vannak, és 1-nek valamilyen gyöke benne van

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

Azokat az egységeket , amelyek létezését a Dirichlet-tétel megállapítja, a gyűrű alapegységeinek nevezzük . ${\displaystyle \varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{d))$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Ha , hol van egy gyököket tartalmazó irreducibilis polinom gyöke , akkor a beágyazás akkor és csak akkor valós , ha az egyenlet valódi gyöke . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Bizonyítási séma

Feltételezzük, hogy léteznek valódi izomorfizmusok és összetett izomorfizmusok . A bizonyításhoz a mező elemei két térben jelennek meg: lineáris és logaritmikus . $r$ ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r))$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - a forma sorainak tere , ahol komponensenkénti összeadással és szorzással. Definiáljuk úgy , hogy a beágyazás injektív . A mező képe egy bizonyos diszkrét rács - a forma elemeinek halmaza , ahol , és - a rács valamely alapja. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\to L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

A tér a következőképpen van elrendezve: , , , . - A szorzást összeadássá alakítja. Ha ez a norma , akkor . $A$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ $l(xy)=l(x)+l(y)$ $N(\alpha )$ $\alpha$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Továbbá figyelembe kell venni a mező egységeinek (reverzibilis elemeinek) csoportját . A halmaz egy csoport szorzással. Ha , akkor , azaz . a halmaz korlátos, ami azt jelenti, hogy véges, ami azt jelenti, hogy 1-től származó gyökekből áll, és a részcsoportja . Ha tetszőleges mértékegység, akkor , , . Ez az egyenlet egy dimenziós hipersíkot határoz meg . A kép egy rács -ben , mivel összeadás alapján egy csoport, és diszkrét, mint egy diszkrét rács folytonos képe . $E$ $K$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepszilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $A$ $l(x(E))$ $x(E)$

Így minden egység 1 gyöke , . Be kell bizonyítani, hogy a rang pontosan , vagy ez egy teljes rács -ben . A térbeli rács akkor és csak akkor teljes, ha a térben van olyan korlátos halmaz , amelynek a rács összes vektora általi eltolódása teljesen kitölti az egész teret. A bizonyítás Minkowski konvex test-lemmáját használja . A halmazt a lemma testének tekintjük . A térfogata . A Minkowski-lemma alkalmazása a következő következményt adja: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Ha a rács bázisvektorai által átfogott fő paralelepipedon térfogata egyenlő , és a számok olyanok, hogy , akkor a rácsban van egy nullától eltérő vektor , amelyre . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $x$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

Bármelyikre van . Jelölje - a -val párhuzamos hipersíkot . Legyen - tetszőleges, és . Ha - kellően nagy, akkor , és ennélfogva a fenti Minkowski-lemmából származó következmény szerint létezik olyan, hogy , azaz , , . $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Jelöljük ki a tetszőleges fent említett halmazt . Nyilvánvaló, hogy minden halmaz korlátos. , azaz vektor általi eltolással kapjuk $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ $Y_{\alpha \varepsilon }$ $Y_{\alpha }$ $l(\varepsilon )$

Csak véges számú páronkénti nem asszociált szám van, amelyek normái kisebbek, mint abszolút értékben , vagyis ha , akkor valamilyen egységre . Mivel lefedik az összes , és -t, ez azt jelenti, hogy az összes vektor által határolt halmaz eltolódásai az összeset lefedik . Ez azt jelenti, hogy a korlátos halmaz minden vektor általi eltolódása mindent lefed , ami bizonyítja a tételt. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $K$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ $Y_{\alpha }$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepszilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\pohár ...\pohár Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Változatok és általánosítások

Mivel az n fok kiterjesztése kielégíti , akkor , és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha minden beágyazás tisztán valósba. $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

A mező egységeinek csoportja akkor és csak akkor merül ki az 1-ből származó gyökök által , pl. A for és for egy képzeletbeli másodfokú kiterjesztés. Minden más esetben mindig van legalább egy alapegység. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

A Pell-egyenlet nem triviális teljes megoldásainak létezése ebből a tételből származik, amelyet a másodfokú kiterjesztésére alkalmazunk . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\mathbb {Q}$

A maximális rangú invertálható elemek csoportjának esete [1] többdimenziós folytonos törtekhez kapcsolódik .

Irodalom

↑ V. I. Arnold. Láncolt frakciók . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Archivált : 2011. július 8. a Wayback Machine -nél

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - M . : Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Számelmélet . - M . : Nauka, a fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985. - 131. o .