Hunger-Shafarevich tétel

A Golod-Safarevich tétel az algebra tétele. E. S. Golod és I. R. Shafarevich fogalmazta meg és bizonyította 1964-ben [1] [2] Ennek fontos következményei a Kurosh -probléma negatív válasza (létezik olyan nullalgebra, amely lokálisan nem nilpotens) [3] , negatív válasz az általános Burnside-problémára (létezik egy periodikus csoport , amely nem lokálisan véges) [4] .

Feltételek

Legyen egy polinom gyűrű nem kommutáló változókban tetszőleges mezőn keresztül . Legyen fokozatos algebra a rajta lévő fokfüggvény definíciója miatt. $T=F\left[x_{1},...,x_{d}\right]$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{d))$ $F$ $T$

Ábrázoljuk alterek összegeként , ahol , és az alak elemeinek alapja van , ahol a változókat a halmazból választjuk . $T$ $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ $T_{0}=F$ $T_{n}$ ${\displaystyle d^{n))$ $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ $x_{i_{j))$ $\left\{x_{1},...,x_{d}\right\}$

A tér elemeit homogén fokelemeknek nevezzük . $T_{n}$ $n$

Legyen az algebra kétoldali ideálja, amelyet fokú homogén elemekkel generálnak , ill. Rendezzük úgy, hogy . Azon elemek számát, amelyeknek a foka egyenlő , a következővel jelöljük . ${\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)$ $T$ $f_{1},f_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ ${\displaystyle f_{j))$ $én$ ${\displaystyle r_{i))$

A hányados algebra az osztályozást örökli, mivel az ideált homogén elemek generálják . $A=T/{\mathfrak {U}}$ $T$ ${\mathfrak {U}}$

A hányados algebra ábrázolható összegként , ahol . $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$

Hadd . $b_{n}=\dim _{F}A_{n}$

Megfogalmazás

A tétel feltételeiben leírt algebra a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $A$

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i))$ mindenkinek . $n\geqslant 1$
Ha mindegyikre , akkor végtelen dimenziós over . $én$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ $A$ $F$

Bizonyítás

A tétel bizonyítása oldalakat foglal el a könyvben [5] $négy$

Lásd még

Égési probléma

Jegyzetek

↑ Golod E. S. A nulla algebrákról és a véges közelíthető p-csoportokról // Izvesztyija AN SSSR. Matematikai sorozat. - 1964. - T. 28., 2. szám . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevich I. R. Az osztálymezők tornyáról // A Szovjetunió Tudományos Akadémiájának Izvesztyija. Matematikai sorozat. - 1964. - T. 28., 2. szám . - S. 261-272 .
↑ Nem kommutatív gyűrűk, 1972 , p. 184.
↑ Nem kommutatív gyűrűk, 1972 , p. 185.
↑ Nem kommutatív gyűrűk, 1972 , p. 180-183.

Irodalom

Herstein I. Nem kommutatív gyűrűk. - M . : Mir, 1972. - 191 p.