Hilbert-Schmidt tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. október 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Hilbert -Schmidt-tétel kiterjeszti a Hilbert-tér teljesen folytonos szimmetrikus operátoraira azt a jól ismert tényt, hogy egy véges dimenziós euklideszi térben egy önadjungált operátor mátrixa valamilyen ortonormális alapon átlós alakra redukálódik .

tétel állítása

Minden teljesen folytonos szimmetrikus operátorhoz egy Hilbert-térben létezik egy ortonormális sajátelem-rendszer, amely megfelel az operátor sajátértékeinek úgy, hogy bármelyiknek van reprezentációja. $A$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $A$ $x\in H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

sőt, az összegzés lehet véges vagy végtelen sorozat is, attól függően, hogy az operátor hány sajátelemet tartalmaz . Ha végtelen sok van belőlük, akkor . $A$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

A Hilbert-Schmidt tétel integrál operátorokra

A Hilbert-Schmidt tétel egy nem homogén integrálegyenlet megoldására használható folytonos (és gyengén poláris) hermitiánus maggal .

Az integrál operátor esetében a tétel a következőképpen van újrafogalmazva: ha egy függvény forrás szerint reprezentálható egy hermitiánus folytonos kernelben (azaz úgy, hogy ), akkor a kernel sajátfüggvényei alapján a Fourier-sor abszolút és egyenletesen konvergál ez a funkció: $(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x,y)$ $\exists g(x)\in L^2(G)$ $f(x)=(Kg)(x)$ $K(x,y)$ $G$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

ahol és a sajátértékeknek megfelelő kernel sajátfüggvényei . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Irodalom

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 7. kiadás - M . : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Lásd még

Hilbert-Schmidt operátor

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"