Hilbert tétel 90

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Hilbert 90-es tétele az egyik fő állítás véges ciklikus Galois-bővítésekre .

Multiplikatív forma

Legyen egy véges ciklikus kiterjesztés Galois-csoportja, és legyen a generátora. Ekkor bármely elem normája akkor és csak akkor 1, ha van egy nem nulla elem , ami az $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\alpha \in E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Bizonyítás

Az elégségesség nyilvánvaló: ha akkor a norma multiplikativitását figyelembe véve megvan. Mivel a szétválasztható kiterjesztések normája egyenlő az összes szorzatával, és egy ilyen szorzatra vonatkoztatva csak a faktorok permutációjához vezet, akkor $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha )))).$ $\sigma _{i}(\alpha ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

A szükségesség bizonyítására a következő leképezést írjuk:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

A karakterek lineáris függetlenségére vonatkozó tétel szerint ez a leképezés nem nulla. Ezért van egy elem , amelyhez $\gamma \-ben E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Ha a leképezést alkalmazzuk , majd az eredményül kapott kifejezést megszorozzuk vele, akkor az első tag a másodikra kerül, és így tovább, az utolsó pedig az elsőre, mivel $\sigma$ $\alpha,$ $\beta,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Akkor azt kapjuk, hogy az osztással a mi szükségünk bizonyított. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Additív forma

Legyen egy véges ciklikus kiterjesztés Galois-csoportja, és legyen a generátora. Ekkor egy elem nyomvonala akkor és csak akkor 0, ha létezik olyan nem nulla elem $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\alpha\in E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Az elégségesség bizonyítása teljesen analóg a szorzó esettel, és szükség esetén figyelembe veszünk egy olyan elemet , amelyhez a szükségeset a következő formában szerkesztjük: $\gamma \-ben E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alpha$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Irodalom

Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1967. - S. 243 -244.

Lásd még

Galois kohomológia

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"