Banach fixpont tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Banach-féle fixpont-tétel – egy metrikus geometriai állítás, amely garantálja egy fix pont létezését és egyediségét a metrikus terek leképezéseinek egy bizonyos osztályához , szintén tartalmaz egy konstruktív módszert ennek a pontnak a megtalálására. A tétel Stefan Banachról , a lengyel matematikusról kapta a nevét , aki ezt az állítást 1922-ben megalkotta.

Tétel

Legyen egy nem üres teljes metrikus tér . $(\mathbb {X} ,\,d)$

Legyen egy összehúzódási leképezés -on , azaz létezik olyan szám , amelyre $T\colon \mathbb {X} \to \mathbb {X}$ $\mathbb{X}$ $0\leqslant \alpha <1$

d(Tx,\,Ty)\leqslant \alpha d(x,\,y),

az összes számára

x,\,y

\mathbb {X.}

Ekkor a leképezésnek van, és ráadásul egyedi, fix pontja is (a fix azt jelenti, hogy ) [1] . $T$ $x^{*}$ $\mathbb{X}$ $x^{*}$ $Tx^{*}=x^{*}$

A számot gyakran tömörítési aránynak is nevezik . $\alpha$

Ha a szám 1, vagyis a leképezés nem összehúzódó, akkor előfordulhat, hogy a tétel nem teljesül . $\alpha$

Bizonyítás

Vegyük a metrikus tér egy tetszőleges rögzített elemét, és tekintsük a sorozatot . ${x\in\mathbb{X}}$ ${\displaystyle x_{1}=Tx,\;x_{2}=Tx_{1},\;\ldots ,\;x_{n+1}=Tx_{n))$

Így megkapjuk a sorozatot . $\{x_n\}$

Mutassuk meg, hogy ez a sorozat alapvető . Valóban:

d(x_{1},\,x_{2})=d(Tx,\,Tx_{1})\leqslant \alpha d(x,\,x_{1})=\alpha d(x) ,\,Tx),

d(x_{2},\,x_{3})=d(Tx_{1},\,Tx_{2})\leqslant \alpha d(x_{1},\,x_{2}) \leqslant \alpha ^{2}d(x,\,Tx),

\ldots ,

d(x_{n},\,x_{n+1})\leqslant \alpha ^{n}d(x,\,Tx).

A háromszög egyenlőtlenség által . $d(x_{n},\,x_{n+p})\leqslant d(x_{n},\,x_{n+1})+d(x_{n+1},\,x_ {n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},\,x_{n+p})\leqslant \alpha ^{n}(1+\alpha +\ldots +\alpha ^ {p-1})d(x,\,Tx)={\frac {\alpha ^{n}-\alpha ^{n+p}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)$

Mivel feltétellel , akkor . Ebből következik, hogy for és any . $0<\alpha<1$ $d(x_{n},\,x_{n+p})<{\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)$ $d(x_{n},\,x_{n+p})\jobbra 0$ $n\jobbra nyíl\infty$ $p>0$

Tehát a sorrend alapvető . $\{x_n\}$

A tér teljessége miatt van egy elem , ami ennek a sorozatnak a határa . $\mathbb{X}$ $x_{0}\in \mathbb {X}$ ${\displaystyle x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n))$

Bizonyítsuk be . $Tx_{0}=x_{0}$

A háromszög egyenlőtlenség szerint . Mivel , akkor minden kellően nagy és . Mivel önkényes, innen következik, hogy , azaz , amit igazolni kellett. $d(x_{0},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+d(x_{n},\,Tx_{0})=d (x_{0},\,x_{n})+d(Tx_{n-1},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+\alpha d (x_{n-1},\,x_{0})$ ${\displaystyle x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n))$ $\varepsilon >0$ $n$ $d(x_{0},\,x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2))$ $d(x_{0},\,x_{n-1})<{\frac {\varepsilon }{2))$ $\varepsilon >0$ $d(x_{0},\;Tx_{0})=0$ $x_0=Tx_0$

Bizonyítsuk be a kontrakciós leképezés fixpontjának egyediségét . Tegyük fel, hogy van két különálló elem , így . Akkor . Ha ezt feltételezzük , akkor az előzőből az következik, hogy . De ez ellentmond a feltételnek . Így az a feltételezésünk, hogy hamis és . $T$ $x_{0},\;y_{0}\in \mathbb {X}$ ${\displaystyle Tx_{0}=x_{0},\;Ty_{0}=y_{0))$ $d(x_{0},\,y_{0})=d(Tx_{0},\,Ty_{0})\leqslant \alpha d(x_{0},\,y_{0})$ $d(x_{0},\,y_{0})>0$ $\alpha \geqslant 1$ $\alpha<1$ $d(x_{0},\,y_{0})>0$ $x_0=y_0$

Alkalmazás

A Banach-tételt a differenciálegyenletek elméletében használják a megoldások létezésének és egyediségének bizonyítására bizonyos határérték-problémák osztályaira. Az integrálegyenletek elméletében a tételt egy 2. típusú nemhomogén lineáris Fredholm -integrálegyenlet , egy 2. típusú Volterra -integrálegyenlet és néhány nemlineáris integrálegyenlet megoldásának létezésének és egyediségének bizonyítására használják . A tétel széles körben alkalmazható numerikus módszerekben, így a Jacobi -módszerben , a Gauss-Seidel-módszerben , a Newton-módszer a Banach-tétel szempontjából is szóba jöhet. A tétel a fraktálok elméletében is alkalmazásra talált .

Jegyzetek

↑ Shilov, 1961 , p. 48.

Irodalom

Krasznov M. L. Integrálegyenletek. - M .: Nauka , 1975.
Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.