Görbületi tenzor

A Riemann-féle görbületi tenzor (néha Riemann–Christoffel görbületi tenzornak is nevezik) a Riemann-féle sokaságok görbületének kifejezésére , általánosabban pedig tetszőleges , affin kapcsolattal rendelkező , torziós vagy torziós sokaságok görbületének kifejezésére.

Bernhard Riemann nevéhez fűződik .

Definíció

A görbületi tenzort a sokaság minden pontjában az érintőtér lineáris transzformációjaként definiáljuk , amely a vektor változását jellemzi , párhuzamosan a vektorok által átívelt végtelenül kicsi zárt paralelogramma mentén . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

A görbületi tenzort a Levi-Civita kapcsolat , vagy általában az affin kapcsolat (amelyet kovariáns deriváltnak is neveznek ) a következőképpen fejezzük ki : $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

hol van a Hazugság zárójel . $[u,\;v]$

Ha a vektormezőket a koordináták és koordináták szerinti differenciálással adjuk meg , és ezért ingáznak ( ), a képlet egyszerűsített formát vesz fel: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

így a görbületi tenzor a kovariáns származékok nem kommutativitását méri .

Jegyzet. Egyes szerzők a görbületi tenzort ellenkező előjellel határozzák meg

Kapcsolódó definíciók

A lineáris transzformációt görbületi transzformációnak nevezzük . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Ha a és két egymásra merőleges egységvektor a pontban , akkor a kifejezés csak a pontban lévő síktól függ , amelyet és feszít . $u$ $v$ $p$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $v$
- A síkot metszeti iránynak nevezzük . $\sigma$
- A mennyiséget irányú metszeti görbületnek nevezzük , és általában jelöli . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma}$

A görbületi tenzor összetevői

A koordinátarendszerben a görbületi tenzor összetevőit a következőképpen definiáljuk: $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\partial _{{\mu }}),\;\partial _{{\nu } } )\partial_{{\sigma }}),

ahol egy vektormező, amely minden pontban érinti a koordináta egyenest . A Christoffel szimbólumok tekintetében : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\partial _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

A kétdimenziós térben az egyetlen nem triviális komponens a Gauss-görbület .

Szimmetriák

A Riemann görbületi tenzor a következő szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Az utolsó azonosságot Ricci fedezte fel , bár ezt az első Bianchi azonosságnak vagy algebrai Bianchi azonosságnak nevezik .

Ez a három azonosság határozza meg a görbületi tenzor teljes szimmetriahalmazát, azaz bármely tenzorra, amely kielégíti ezeket az összefüggéseket, találhatunk egy Riemann-sokaságot, amelynek görbületét ez a tenzor írja le. Egy egyszerű kombinatorikus számítás azt mutatja, hogy a görbületi tenzornak független összetevőkkel kell rendelkeznie. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Egy másik hasznos összefüggés következik ebből a három azonosságból:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

A Bianchi-azonosság ( második Bianchi-identitásnak vagy Bianchi-féle differenciális azonosságnak is nevezik ) kovariáns származékokat foglal magában:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Egy adott koordinátarendszerben a sokaság valamely pontjának szomszédságában a fenti azonosságok a görbületi tenzor komponenseiben a következőképpen írhatók fel. A zárójelek szimmetrizációt jelölnek ; a pontosvessző utáni alsó indexek a kovariáns származékot jelentik.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(az első Bianchi-identitás);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(a második Bianchi-identitás).

Lásd még

Irodalom

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Bevezetés a Riemann geometriába. - Szentpétervár: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .