Érintőleges háromszög

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A tangenciális háromszög (a latin tangens - tangens szóból) olyan konstrukció, amely egy új háromszöget ad egy adott háromszög mentén.

Ha egy adott háromszög körül kört írunk le, akkor azt a háromszöget , amelyet a csúcsokon keresztül húzott kör három egyenes érintője alkot, érintőnek nevezzük . $\háromszög ABC$ $\triangle A'B'C'$ $A$ $B$ $C$

Csúcskoordináták

Tangenciális háromszög csúcsainak háromvonalas koordinátái

A'=-a:b:c

B'=a:-b:c

C'=a:b:-c

Tulajdonságok

A tangenciális háromszög oldalai ellentétesek az adott háromszög megfelelő szemközti oldalaival (a kör érintőinek antiparallelizmusa miatt) . $\triangle A'B'C'$
Egy érintőleges háromszög oldalai párhuzamosak egy derékszögű háromszög megfelelő oldalaival .
Az érintőleges háromszögbe írt kör az adott háromszöghez képest körülírt kör . $\triangle A'B'C'$ $\háromszög ABC$
És fordítva: egy érintőleges háromszögbe írt kör középpontja egybeesik egy adott háromszög körül körülírt kör középpontjával . $\triangle A'B'C'$ $\háromszög ABC$
Egy érintőleges háromszög és egy adott háromszög szögeinek kapcsolata ΔABC $\ A'=\pi -2A;$ $\ B'=\pi -2B;$ $\ C'=\pi -2C.$
Egy adott háromszög esetében a tangenciális háromszöge és az ortoháromszöge hasonló. $\háromszög ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\triangle A''B''C''$
Ennek a háromszögnek a területe megegyezik a tangenciális háromszög és az ortoháromszög területei közötti geometriai átlaggal . $\háromszög ABC$
Egy érintőleges háromszög területe [1] : $S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^ {2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}$

hol van a háromszög területe ; - megfelelő oldalai. vagy [2]

S

\háromszög ABC

{\megjelenítési stílus a,b,c}

S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|

Egy érintőleges háromszög oldalai [2] $a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}$ $b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}$ $c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}$
A tangenciális háromszög oldalai ellentétesek az adott háromszög megfelelő szemközti oldalaival (a kör érintőinek antiparallelizmusa miatt).

Figyelemre méltó pontok

A következő táblázat az érintőleges háromszög figyelemreméltó pontjainak és az eredeti háromszög középpontjainak megfeleltetését adja meg. X n a Kimberling-listán [3] található figyelemre méltó pont indexét jelenti .

X n	Tangenciális háromszög középpontja	X n	Az eredeti háromszög középpontja
x2 _	háromszög súlypont	X 154	X 3 az X 6 konjugált pontja
x3 _	a körülírt kör középpontja	x26 _	érintőleges háromszög körülírt körének középpontja
x4 _	ortocentrum	X 155	az ortoháromszög megfelelő középpontja
x5 _	kilenc pont közepén	X 156	X 5 érintőleges háromszög
x6 _	szimmediánus metszéspont	X 157	X 6 érintőleges háromszög
X 30	Euler-vonal végtelen pontja	X 1154	az X pont izogonális ragozása 1141
X 523	X pont izogonális konjugációja 110	X 1510	Napóleon pontok keresztkülönbsége

Lásd még

Jegyzetek

↑ A képlet az előző tulajdonságból és az ortoháromszög területéből származtatható
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Tangenciális háromszög a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Háromszögközéppontok enciklopédiája . Letöltve: 2015. augusztus 18. Az eredetiből archiválva : 2012. április 19.. (határozatlan)

Irodalom

Zetel S. I. . Új háromszög geometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás - M. : Uchpedgiz, 1962. - 153 p.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTsNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .