Érintőértékű forma
Az érintőértékű formák a differenciálformák általánosítása , amelyben az alak értékkészlete a sokaság érintőkötege .
Definíció
A tangens értékű forma egy gyűjtőcsonkon az elosztóhoz tartozó kotangens kötegek érintőjének és külső hatványainak tenzorszorzatának egy szakasza :
Műveletek
- Belső differenciálódás
- Külső differenciálás
Hazugság származéka
Az érintőleges értékű formák speciális esetei a vektormezők . A tenzormező Lie deriváltja egy vektormezőhöz képest a szabványos módon van meghatározva:
ahol a vektormezőnek megfelelő fázisáram . Ez a művelet egy differenciálforma vektormezővel való belső szorzásához és a homotópia képlettel történő külső differenciálásához kapcsolódik :
vagyis
![{\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407fedff8778171516c1002ccaa2e854d3349c0d)
ahol a kommutátor az érintőleges értékű formák levezetéseinek fokozatos algebrájában. Egy tetszőleges érintőleges értékű alak esetén a Lie derivált analógiával definiálható:
Tulajdonságok![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f273204bfa118e369086c85b3d7b23da5313f9)
![{\displaystyle [L_{K},d]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918fcbb7cf56bf8595dd8f6bc5cbbe7b4167b2)
Frölicher-Nijenhuis konzol
A Frölicher-Nijenhuis zárójel két érintőleges értékű formából áll, és olyan egyedi érintőleges értékű formaként van meghatározva, amelyre
![{\displaystyle [K,F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb154345346746d75727a1e6bcc0a81a138856)
![{\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d873bbb74d043572252b5bb59ab2f81c298e8e9)
Ez a művelet fokozatos antikommutatív és kielégíti a fokozatos Jacobi azonosságot . Ha egy majdnem összetett szerkezetet érintő értékű 1-formaként fogunk fel, akkor Nijenhuis tenzora (egy tenzor, amely megakadályozza az összetett lokális térképek keresését) a Frölicher-Nijenhuis zárójelen keresztül fejeződik ki . [1] Gyakori egy bizonyos szerkezet „integrálhatóságának” feltétele, hogy egyes zárójeleinek eltűnése önmagával: például egy algebra asszociativitási feltétele úgy definiálható, mint a Gerstenhaber-zárójel eltűnése a kodifferenciációk terén. az algebra mögöttes vektortere által generált szabad koalgebrának az 1. fokozatba helyezve (a bilineáris szorzások megegyeznek az 1. osztályozó kóddifferenciációval) [2] .
![{\displaystyle [én, én]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0ed0802a46f94834a2074b4131f1e4744253ba)
Nijenhuis-Richardson konzol
A Nijenhuis-Richardson zárójel (algebrai zárójel) két érintőleges értékű forma , és ez az egyetlen érintőleges értékű forma , amelyre
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\ék ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eab976fbfedc37e39a9b3bd94ef078b3a6998c)
![{\displaystyle [K,F]^{\ék ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aad740f459fa6f9fb8326505bc450443e4f82f)
![{\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\ék })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4929659805d0900b1ae2a1923539797dc948f4)
Ez a művelet fokozatos antikommutatív és kielégíti a fokozatos Jacobi azonosságot . Explicit forma két alak zárójelébe , :
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c249d4fa65aa6af46525ad015c08b7b135ed9a9a)
Kapcsolódó definíciók
Egy formát forrasztásnak nevezünk, ha benne van .
Jegyzetek
- ↑ Egy majdnem összetett szerkezet Nijenhuis-tenzorának tucatnyi definíciója . . Hozzáférés dátuma: 2016. január 31. Az eredetiből archiválva : 2015. március 26.
- ↑ Homológiai módszerek a nem kommutatív geometriában, 8. előadás. Archiválva : 2017. március 24., a Wayback Machine , Lemma 8.2.
Irodalom
- GA Sardanashvili A térelmélet modern módszerei. 1. kötet: Geometria és klasszikus mezők, - M. : URSS, 1996. - 224 p.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Természetes műveletek a differenciálgeometriában , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .