Elosztási konvergencia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az eloszlási konvergencia a valószínűségelméletben a valószínűségi változók konvergenciájának egy fajtája .

Definíció

Legyen adott egy valószínűségi tér és a rajta definiált valószínűségi változók . Minden valószínűségi változó egy valószínűségi mértéket indukál a -n , amelyet eloszlásának nevezünk . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb {R} ^{m}$

A véletlen változók eloszlásukban konvergálnak egy valószínűségi változóhoz , ha az eloszlások gyengén konvergálnak az eloszláshoz , azaz $X_n$ $x$ ${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb {P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

bármely folytonos korlátos [1] [2] függvényhez . $f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}$

Jegyzetek

A Lebesgue-féle integrál mértékváltozási tétel segítségével az utolsó egyenlőség a következőképpen írható át:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

A terjesztési korlát nem egyedi. Ha két valószínűségi változó eloszlása azonos, akkor ezek vagy korlátozzák a valószínűségi változók sorozatának eloszlását, vagy nem.

A konvergencia tulajdonságai az eloszlásban

A véletlen változók az eloszlásban konvergálnak ahhoz, ha eloszlásfüggvényeik a határeloszlásfüggvényhez konvergálnak az utóbbi folytonosságának minden pontján : $X_n$ $x$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Ha a definícióban szereplő összes valószínűségi változó abszolút folytonos és sűrűségük konvergál:

\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

szinte mindenhol , akkor . Ennek a fordítottja általában nem igaz!

X_{n}\ ide: ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

A valószínűség konvergenciája (és ennélfogva a konvergencia szinte biztosan -ben ) az eloszlás konvergenciáját jelenti : $L^{p}$

X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\to ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X

. Ennek fordítva általában nem igaz.

Lásd még

Szluckij tétele

Jegyzetek

↑ hu:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
↑ hu:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures