Konvergencia Lp-ben

$L^{p}$ A funkcionális elemzés , a valószínűségszámítás és a kapcsolódó tudományágak konvergenciája a mérhető függvények vagy valószínűségi változók konvergenciájának egy fajtája .

Definíció

Legyen szóköz mértékkel . Ekkor a mérhető függvények tere úgy, hogy a hatványuk , ahol Lebesgue integrálható , metrikus . Az ezen a téren lévő mérőszám alakja: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $p$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right )^{1/p}

Legyen adott egy sorozat . Ekkor azt mondjuk, hogy ez a sorozat akkor konvergál a függvénybe , ha a fent definiált metrikában konvergál , pl. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \in L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Írd: . Néha használják a megnevezést is - az angolból. angol határ az átlagban . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to\infty} f_n(x)$

Valószínűségelmélet szempontjából a valószínűségi változók sorozata ugyanabból a térből konvergál, ha $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $x$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Írd: . $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminológia

A térbeli konvergenciát átlagos konvergenciának nevezzük. $L^1$
A térbeli konvergenciát effektív konvergenciának nevezzük. $L^{2}$

Konvergencia tulajdonságok a $L^{p}$

A határ egyedisége. Ha és , akkor - szinte mindenhol ( - szinte biztosan ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

A hely megtelt . Ha a , akkor létezik olyan, hogy . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \0-ra$ $\min(n,m) \to \infty$ $f \in L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

A konvergencia mértékében ( valószínűségben ) konvergenciát jelent . Ha , akkor . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$