Jelentős sokszínűség

Az esszenciális fajták a zárt fajták speciális típusai. A koncepciót Gromov vezette be a szisztolés egyenlőtlenség tanulmányozása során . [egy]

Definíció

$n$ Egy dimenziós zárt sokaság elengedhetetlen, ha létezik egy aszférikus topológiai tér és egy folyamatos leképezés , amely az alaposztályt egy nem nulla homológia osztályba viszi . $M$ $K$ $M\to K$ $M$ $K$

Más szavakkal, az alaposztály egy nem nulla elemet határoz meg alapcsoportja homológiájában . Pontosabban, ha van egy ptotér , akkor az alapcsoportok izomorfizmusát indukáló leképezés egy nem triviális homomorfizmust ad. $[M]$ $\pi _{1}(M)$ $N$ $K(\pi _{1}(M),1)$ $M\to N$

H_{n}(M)\H_{n}(N).

Itt az alaposztályt az egész együtthatókkal homológiában vesszük, ha a sokaság orientálható , és a modulo 2 együtthatókkal egyébként.

Példák

Minden zárt felület (azaz 2-elosztó) elengedhetetlen, a 2-gömb S 2 kivételével .
A valódi projektív tér elengedhetetlen, mert a befogadás ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty ))$

homológiában injektív és

\mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)

egy 2-es rendű véges ciklikus csoport K(π,1)-tere .

Minden kompakt aszférikus elosztó elengedhetetlen (mivel az aszferikusság azt jelenti, hogy az elosztó önmagában már egy K(G,1) tér ).
- Különösen minden kompakt hiperbolikus elosztó elengedhetetlen.
Minden lencseköz elengedhetetlen.

Tulajdonságok

Lényeges, hogy egy lényeges elosztó össze van kötve bármely zárt elosztóval.
Az esszenciális fajták közvetlen terméke elengedhetetlen.
Szintén nélkülözhetetlen minden olyan fajta, amely nullától eltérő foktól esszenciálisig leképezhető.
Az esszenciális sokaságokra a szisztolés egyenlőtlenség érvényes .
- Ez a tulajdonság az elsődleges oka ennek a definíciónak a bevezetésének.

Jegyzetek

↑ Gromov, M.: Riemann-elosztók feltöltése, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.