Szisztolés egyenlőtlenség

Szisztolés egyenlőtlenség - a következő formájú egyenlőtlenség

\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),

ahol egy zárt dimenziós Riemann-sokaság egy bizonyos osztályban, a legrövidebb nem összehúzható zárt görbe hossza (úgynevezett szisztolé ), és a térfogata. $M$ $n$ $\operatorname {sys} M$ $M$ $M$ $\operatorname {vol} M$

Egy bizonyos osztálynak általában a sokaság topológiai típusát vesszük, de előfordul, hogy például a Riemann-féle sokaságok osztályát konforman egyenértékűnek tekintjük egy adott sokasággal.

Sok topológiai típusú sokaságra, például egy gömb és egy kör szorzatára, a szisztolés egyenlőtlenség nem állja meg a helyét - vannak Riemann-metrikák tetszőlegesen kis térfogattal és tetszőlegesen hosszú szisztoléval. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1))$

Példák

A Loewner-egyenlőtlenség az optimális szisztolés egyenlőtlenség egykonstans kétdimenziós tóruszhoz . $\mathbb {T} ^{2}$ ${\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}$
A Poo-egyenlőtlenség az optimális szisztolés egyenlőtlenség a valós projektív síkra konstanssal . ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2))))$
Az optimális állandó a Klein palacknál is ismert ; ő egyenlő . [egy] ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4))))$
A szisztolés egyenlőtlenség érvényes azokra a metrikákra, amelyek konforman ekvivalensek a kanonikus metrikával a tórusz és a projektív tér minden dimenziójában. Ezenkívül a kanonikus metrika egyenlősége megvalósul.
Gromov-egyenlőtlenség az alapvető fajtákra [2] $\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M)),$
- A szisztolés egyenlőtlenség különösen érvényes minden zárt felületre, kivéve a gömböt, valamint minden méretű tori és projektív teret.
- Ismeretes, hogy az optimális állandó nem haladja meg a . [3] $c_n$ ${\sqrt[{n}]{n!)}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)$
- Egy példa egy kanonikus metrikával rendelkező projektív térre egy alsó korlátot ad , amely a következővel nő ; talán ez az optimális állandó. $c_n$ ${\sqrt {n}}$

Jegyzetek

↑ C. Bavard. "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein". Math. Ann. 274,3 (1986), 439–441.
↑ Gromov, M. (1983), Riemann-elosztók kitöltése, J. Diff. Geom. T. 18: 1–147
↑ Alekszandr Nabutovszkij, A Gromov-féle szisztolés egyenlőtlenség állandóinak lineáris határai és a kapcsolódó eredmények. arXiv : 1909.12225