Aszférikus tér

Az aszférikus tér olyan topológiai tér , amelyben a triviális homotópiacsoportok kivételével minden triviális . A szimplektikus sokaságok esetében a kifejezés jelentése kissé eltér; lásd szimlektikus aszférikus elosztó . $\pi _{n}(X)$ $n=1$

Tulajdonságok

tétele szerint egy CW-komplex akkor és csak akkor aszférikus , ha univerzális borítása összehúzható .

Minden aszférikus tér definíció szerint egy K(G,1) tér , ahol az alapcsoport . $x$ $G=\pi _{1}(X)$ $x$

Legyen egy aszférikus tér és egy összefüggő CW-komplexum . $x$ $K$
- Bármilyen folyamatos leképezést a 2-csontváztól a -ig ki lehet terjeszteni a teljes egészében meghatározott folyamatos leképezéssé . $K$ $x$ $K$
- Az alapvető csoportok bármely homomorfizmusára létezik egy folyamatos leképezés , amely indukálja . $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ $\varphi \colon K\to X$ $h$
  - Sőt, a
homotópia egyenértékűségéig egyedülálló . $\varphi$

Közvetlenül a definícióból az aszférikus tér az alapvető csoportjának osztályozó tere (amely topológiai csoportnak tekinthető , ha diszkrét topológiával van felszerelve ).

A gömb és a projektív sík kivételével minden kompakt felület aszférikus.
Bármilyen méretű tórusz aszférikus.
Bármely hiperbolikus sokaság aszférikus.
Ráadásul az Alekszandrovi értelemben vett nem pozitív görbületű metrikus terek (vagyis lokálisan CAT(0) terek ) aszférikusak. A Riemann-féle sokaságok esetében ez a Cartan-Hadamard tételből következik .
A csomópont komplementere a gömbtétel szerint aszférikus ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$
Bármilyen csővezeték aszférikus.
A végtelen dimenziós lencsetér aszférikus. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p))$